Use o Teorema de Divergência para calcular , onde é a fronteira da caixa dada por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície usando o Teorema da Divergência.
Matéria envolvida: Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss).
O que vamos precisar:
Entender o que é o Teorema da Divergência.
Calcular a divergência do campo vetorial .
Integrar essa divergência dentro do volume da caixa definida.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teorema da Divergência? Ele relaciona a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície. Em fórmula:
Então, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, que pode ser trabalhoso, usamos o volume e a divergência.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial .
A divergência é dada pela soma das derivadas parciais das componentes de em relação a cada variável:
Vamos calcular cada termo:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume da caixa definida por , , e .
A integral tripla fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a :
Calculando cada parte:
integralx=0^2 dx = 2 - 0 = 2
Então:
6 cdot 2 + 9 cdot 2 = 12 + 18 = 30
Resposta
A integral de superfície integral duplaS F cdot d S vale 30.