Use o Teorema de Divergência para calcular integral duplaS F cdot d S, onde S é a fronteira da caixa dada por 0 <= x <= 2,1 <= y <= 4,0 <= z <= 1 e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S usando o Teorema da Divergência.
Matéria envolvida: Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss).
O que vamos precisar:
  • Entender o que é o Teorema da Divergência.
  • Calcular a divergência do campo vetorial F.
  • Integrar essa divergência dentro do volume da caixa definida.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema da Divergência? Ele relaciona a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície. Em fórmula:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV nabla cdot F , dV
Então, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, que pode ser trabalhoso, usamos o volume e a divergência.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial F(x, y, z) = (x^2+y z, y-z, 2 x+2 y+2 z).
A divergência nabla cdot F é dada pela soma das derivadas parciais das componentes de F em relação a cada variável:
nabla cdot F = partialpartial x(x^2 + y z) + partialpartial y(y - z) + partialpartial z(2 x + 2 y + 2 z)
Vamos calcular cada termo:
  1. partialpartial x(x^2 + y z) = 2x
  2. partialpartial y(y - z) = 1
  3. partialpartial z(2 x + 2 y + 2 z) = 2
Então:
nabla cdot F = 2x + 1 + 2 = 2x + 3

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa divergência 2x + 3 sobre o volume da caixa definida por 0 <= x <= 2, 1 <= y <= 4, e 0 <= z <= 1.
A integral tripla fica:
integral triplaV (2x + 3) , dV = integralx=0^2 integraly=1^4 integralz=0^1 (2x + 3) , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a z:
integralz=0^1 (2x + 3) , dz = (2x + 3) cdot integralz=0^1 dz = (2x + 3) cdot (1 - 0) = 2x + 3
Agora, a integral fica:
integralx=0^2 integraly=1^4 (2x + 3) , dy , dx

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a y:
integraly=1^4 (2x + 3) , dy = (2x + 3) cdot integraly=1^4 dy = (2x + 3) cdot (4 - 1) = (2x + 3) cdot 3 = 6x + 9
Agora, a integral fica:
integralx=0^2 (6x + 9) , dx

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a x:
integralx=0^2 (6x + 9) , dx = 6 cdot integralx=0^2 x , dx + 9 cdot integralx=0^2 dx
Calculando cada parte:
  1. integralx=0^2 x , dx = 12x^2|0^2 = 12(4 - 0) = 2
  2. integralx=0^2 dx = 2 - 0 = 2
Então:
6 cdot 2 + 9 cdot 2 = 12 + 18 = 30

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot d S vale 30.

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