Mostre que (a) a velocidade transversal máxima de uma particula numa corda, devida a uma onda que se propaga, é dada por umax =omega vn =2 pi f ym e ( b) a aceleração transversal máximá é a1, man =omega^2 ym=4 pi^2 f^2 ym,.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, numa onda harmônica que se propaga numa corda de amplitude ym, frequência angular omega e frequência f, a velocidade e a aceleração transversais máximas são dadas por umax=omega ym=2pi f ym e amax=omega^2ym=4pi^2f^2ym. Vamos usar a definição de onda harmônica e derivadas temporais para chegar lá.

Passo 2

Para começar, representamos a posição transversal de uma partícula na corda pela função de onda harmônica. Por exemplo, podemos usar
y(x,t)=ymsinl(kx-omega tr)
Essa expressão descreve a oscilação em função do tempo e da posição, com amplitude ym, número de onda k e frequência angular omega.

Passo 3

A velocidade transversal u(x,t) é a derivada parcial de y(x,t) em relação ao tempo. Aplicando a regra da cadeia:
u(x,t)=partial ypartial t=ymcdotl(-omegar)cosl(kx-omega tr)=-omega ymcosl(kx-omega tr)

Passo 4

Para encontrar o valor máximo de |u|, observamos que |cos(cdot)|<=1. Logo,
umax=omega ym
Como omega=2pi f, obtemos
umax=2pi f,ym

Passo 5

A aceleração transversal a(x,t) é a segunda derivada temporal de y(x,t). Derivando u(x,t):
a(x,t)=partial^2ypartial t^2=-omegacdotl(-omega ymr)sinl(kx-omega tr)= -omega^2ymsinl(kx-omega tr)

Passo 6

Usando |sin(cdot)|<=1, o máximo de |a| é
amax=omega^2ym
Substituindo omega=2pi f segue
amax=(2pi f)^2ym=4pi^2f^2ym

Resposta

u_{\max}=\omega y_{m}=2\pi f y_{m},\quad a_{\max}=\omega{2}y_{m}=4\pi{2}f^{2}y_{m}

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