Mostre que (a) a velocidade transversal máxima de uma particula numa corda, devida a uma onda que se propaga, é dada por
e
b) a aceleração transversal máximá é
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, numa onda harmônica que se propaga numa corda de amplitude
, frequência angular
e frequência
, a velocidade e a aceleração transversais máximas são dadas por
e
. Vamos usar a definição de onda harmônica e derivadas temporais para chegar lá.
Passo 2
Para começar, representamos a posição transversal de uma partícula na corda pela função de onda harmônica. Por exemplo, podemos usar
Essa expressão descreve a oscilação em função do tempo e da posição, com amplitude
, número de onda
e frequência angular
.
Passo 3
A velocidade transversal
é a derivada parcial de
em relação ao tempo. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Para encontrar o valor máximo de
, observamos que
. Logo,
Como
, obtemos
Passo 5
A aceleração transversal
é a segunda derivada temporal de
. Derivando
:
Passo 6
Usando
, o máximo de
é
Substituindo
segue
Resposta
u_{\max}=\omega y_{m}=2\pi f y_{m},\quad a_{\max}=\omega{2}y_{m}=4\pi{2}f^{2}y_{m}