\hline 15) & Calcule \int_{C} y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y sabendo que C é o arco de parábola x=2+y^{2} de A=(3,-1) a B=(4,2). \

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha
\int_{C} y\,\mathrm{d}x + x^{2}\,\mathrm{d}y
onde C é o arco da parábola x=2+y^{2} que vai de A=(3,-1) até B=(4,2).
As informações relevantes que temos:
  • A curva é dada implicitamente por x=2+y^{2}.
  • Os pontos inicial e final têm coordenadas A=(3,-1) e B=(4,2).
  • O que se pede é calcular a integral de linha orientada de A para B:
\int_{C} y\,\mathrm{d}x + x^{2}\,\mathrm{d}y.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática de integral de linha para uma forma P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y. Se parametrizamos a curva por x=x(t), y=y(t) com t variando em [a,b], então
\int_{C} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,\mathrm{d}t.
Aqui x'(t)=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} e y'(t)=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}. Isso transforma a integral de linha numa integral usual em t.

Passo 3

Escolhemos parametrizar usando y como parâmetro, isto é, tomamos t=y. Então definimos
y(t)=t,\qquad x(t)=2+t^{2}.
Como C vai de y=-1 até y=2, os limites do parâmetro são t\in[-1,2]. Agora calcule as derivadas:
x'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(2+t^{2})=2t,\qquad y'(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}t=1.

Passo 4

Substituímos na fórmula da integral de linha com P(x,y)=y e Q(x,y)=x^{2}:
\int_{C} y\,\mathrm{d}x + x^{2}\,\mathrm{d}y = \int_{-1}^{2}\bigl(y(t)\,x'(t)+x(t)^{2}\,y'(t)\bigr)\,\mathrm{d}t.
Agora substituímos y(t)=t, x'(t)=2t, x(t)=2+t^{2}, y'(t)=1:
\int_{-1}^{2}\bigl(t\cdot 2t + (2+t^{2})^{2}\cdot 1\bigr)\,\mathrm{d}t = \int_{-1}^{2}\bigl(2t^{2} + (2+t^{2})^{2}\bigr)\,\mathrm{d}t.

Passo 5

Expandimos (2+t^{2})^{2} para simplificar a integral:
(2+t^{2})^{2}=4 + 4t^{2} + t^{4}.
Somando com 2t^{2} obtemos o integrando simplificado:
2t^{2} + (2+t^{2})^{2} = 2t^{2} + 4 + 4t^{2} + t^{4} = 4 + 6t^{2} + t^{4}.
Portanto a integral fica
\int_{-1}^{2}\bigl(4 + 6t^{2} + t^{4}\bigr)\,\mathrm{d}t.

Passo 6

Integramos termo a termo. Uma primitiva é
F(t)=\int\bigl(4 + 6t^{2} + t^{4}\bigr)\,\mathrm{d}t = 4t + 6\cdot\frac{t^{3}}{3} + \frac{t^{5}}{5} = 4t + 2t^{3} + \frac{t^{5}}{5}.
Logo a integral definida é F(2)-F(-1).

Passo 7

Calculamos F(2) e F(-1) separadamente.
F(2)=4\cdot 2 + 2\cdot 2^{3} + \frac{2^{5}}{5} = 8 + 16 + \frac{32}{5} = 24 + \frac{32}{5} = \frac{120+32}{5}=\frac{152}{5}.
F(-1)=4\cdot(-1) + 2\cdot(-1)^{3} + \frac{(-1)^{5}}{5} = -4 -2 -\frac{1}{5} = -6 - \frac{1}{5} = -\frac{30+1}{5}=-\frac{31}{5}.
Subtraindo:
F(2)-F(-1)=\frac{152}{5}-\bigl(-\frac{31}{5}\bigr)=\frac{152+31}{5}=\frac{183}{5}.

Passo 8

Interpretação final rápida: a integral de linha ao longo do arco da parábola orientado de A para B é \dfrac{183}{5}. Excelente — apesar de parecer muita coisa no começo, parametrizar por y deixou tudo direto.

Resposta

\dfrac{183}{5}

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