\hline 15) & Calcule
sabendo que
é o arco de parábola
de
a
. \
Passo 1
O enunciado dá a integral de linha
onde
é o arco da parábola
que vai de
até
.
As informações relevantes que temos:
As informações relevantes que temos:
- A curva é dada implicitamente por
. - Os pontos inicial e final têm coordenadas
e . - O que se pede é calcular a integral de linha orientada de
para :
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática de integral de linha para uma forma
. Se parametrizamos a curva por
,
com
variando em
, então
Aqui
e
. Isso transforma a integral de linha numa integral usual em
.
Passo 3
Escolhemos parametrizar usando
como parâmetro, isto é, tomamos
. Então definimos
Como
vai de
até
, os limites do parâmetro são
. Agora calcule as derivadas:
Passo 4
Substituímos na fórmula da integral de linha com
e
:
Agora substituímos
,
,
,
:
Passo 5
Expandimos
para simplificar a integral:
Somando com
obtemos o integrando simplificado:
Portanto a integral fica
Passo 6
Integramos termo a termo. Uma primitiva é
Logo a integral definida é
.
Passo 7
Calculamos
e
separadamente.
Subtraindo:
Passo 8
Interpretação final rápida: a integral de linha ao longo do arco da parábola orientado de
para
é
. Excelente — apesar de parecer muita coisa no começo, parametrizar por
deixou tudo direto.