\hline 16) & Calcule
sabendo que
é o segmento de reta de
a
. \
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de linha
onde
é o segmento de reta que vai de
até
.
Informações dadas:
- Ponto inicial:
. - Ponto final:
. - Curva
: segmento de reta de a . - A integral a calcular é a de uma forma diferencial
com e .
Passo 2
Escolha do método (e por quê): uma forma natural para integrar sobre um segmento de reta é parametrizar a reta por um parâmetro
e transformar a integral de linha numa integral em
. Antes de parametrizar, vale checar se a forma é exata, porque se fosse exata poderíamos usar uma primitiva e avaliar nos pontos finais (às vezes isso é mais rápido). Para ser exata, em uma região simples devemos ter
Aqui
Como
em geral, a forma não é exata globalmente, então vamos parametrizar o segmento — é o método mais direto e elementar.
Passo 3
Parametrização do segmento
: para um segmento de
a
usa-se
Aplicando aos pontos dados:
com
.
Derivadas em relação a
:
Passo 4
Transformar a integral em integral em
. A regra é substituir
e
, obtendo
Substituindo
,
,
,
:
Calculemos passo a passo:
Portanto a integral vira
Passo 5
Integração term-by-term e avaliação nos limites:
Somando: