\hline 16) & Calcule \int_{C} y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y sabendo que C é o segmento de reta de A=(3,-1) a B=(4,2). \

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de linha
\int_{C} y\,\mathrm{d}x + x^{2}\,\mathrm{d}y
onde C é o segmento de reta que vai de A=(3,-1) até B=(4,2).
Informações dadas:
  • Ponto inicial: A=(3,-1).
  • Ponto final: B=(4,2).
  • Curva C: segmento de reta de A a B.
  • A integral a calcular é a de uma forma diferencial M(x,y)\,\mathrm{d}x + N(x,y)\,\mathrm{d}y com M(x,y)=y e N(x,y)=x^{2}.

Passo 2

Escolha do método (e por quê): uma forma natural para integrar sobre um segmento de reta é parametrizar a reta por um parâmetro t e transformar a integral de linha numa integral em t. Antes de parametrizar, vale checar se a forma é exata, porque se fosse exata poderíamos usar uma primitiva e avaliar nos pontos finais (às vezes isso é mais rápido). Para ser exata, em uma região simples devemos ter
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui
\frac{\partial M}{\partial y} = 1,\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x.
Como 1 \neq 2x em geral, a forma não é exata globalmente, então vamos parametrizar o segmento — é o método mais direto e elementar.

Passo 3

Parametrização do segmento C: para um segmento de A=(x_A,y_A) a B=(x_B,y_B) usa-se
x(t)=x_A + t(x_B-x_A),\qquad y(t)=y_A + t(y_B-y_A),\qquad t\in[0,1].
Aplicando aos pontos dados:
x(t)=3 + t(4-3)=3+t,
y(t)=-1 + t(2-(-1))=-1+3t,
com t\in[0,1].
Derivadas em relação a t:
x'(t)=1,\qquad y'(t)=3.

Passo 4

Transformar a integral em integral em t. A regra é substituir \mathrm{d}x = x'(t)\,\mathrm{d}t e \mathrm{d}y = y'(t)\,\mathrm{d}t, obtendo
\int_{C} y\,\mathrm{d}x + x^{2}\,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1}\Big( y(t)\,x'(t) + x(t)^{2}\,y'(t)\Big)\mathrm{d}t.
Substituindo x(t), y(t), x'(t), y'(t):
y(t)\,x'(t) + x(t)^{2}\,y'(t) = (-1+3t)\cdot 1 + (3+t)^{2}\cdot 3.
Calculemos passo a passo:
(3+t)^{2}=9+6t+t^{2},
3(3+t)^{2}=27+18t+3t^{2},
(-1+3t)+3(3+t)^{2} = -1+3t+27+18t+3t^{2} = 26+21t+3t^{2}.
Portanto a integral vira
\int_{0}^{1} \big(26+21t+3t^{2}\big)\,\mathrm{d}t.

Passo 5

Integração term-by-term e avaliação nos limites:
\int_{0}^{1}26\,\mathrm{d}t = 26t\Big|_{0}^{1}=26,
\int_{0}^{1}21t\,\mathrm{d}t = \frac{21}{2}t^{2}\Big|_{0}^{1}=\frac{21}{2},
\int_{0}^{1}3t^{2}\,\mathrm{d}t = t^{3}\Big|_{0}^{1}=1.
Somando:
26+\frac{21}{2}+1 = \frac{52}{2}+\frac{21}{2}+\frac{2}{2}=\frac{75}{2}.

Resposta

\dfrac{75}{2}

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