\hline 18) & \begin{aligned} & \text { Seja } f(x, y)=x^{2}+y^{2} \text { e } C \text { o segmento de reta cujas equações são } \\\ & x(t)=4 t-1, y(t)=3 t+2, \text { com } 0 \leq t \leq 2 \text {. Calcule } \int_{C} f(x, y) \mathrm{d} s, \int_{C} f(x, y) \mathrm{d} x \\\ & \text { e } \int_{C} f(x, y) \mathrm{d} y . \end{aligned}çõã \

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo foi dado no enunciado):
  • A função escalar: f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • A curva C é o segmento de reta parametrizado por x(t)=4t-1,\qquad y(t)=3t+2,\qquad 0\le t\le 2.
  • As integrais que precisamos calcular são:
    1. \displaystyle \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}s.
    2. \displaystyle \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}x.
    3. \displaystyle \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}y.
Nada mais foi dado. A partir dessa parametrização devemos substituir na função e aplicar as fórmulas de integração de curvas.

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que vou usar (cada uma é uma regra padrão para integrais ao longo de uma curva parametrizada).
  • Parametrização: uma curva C dada por x=x(t),\,y=y(t) com t variando de a a b.
  • Integral de linha de uma função escalar em relação ao comprimento de arco s: \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\;\mathrm{d}t.Aqui x'(t)=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} e y'(t)=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}. A raiz é a velocidade \|\mathbf r'(t)\| e transforma dt em elemento de comprimento ds.
  • Integral de linha em relação a x: \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}x=\int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,x'(t)\;\mathrm{d}t.Isso vem de \mathrm{d}x=x'(t)\mathrm{d}t.
  • Integral de linha em relação a y: \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}y=\int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,y'(t)\;\mathrm{d}t.Isso vem de \mathrm{d}y=y'(t)\mathrm{d}t.
Agora aplico essas fórmulas com a=0 e b=2.

Passo 3

Substituo a parametrização na função f para obter f em termos de t.
  • Primeiro, x(t)=4t-1 então \big(x(t)\big)^{2}=(4t-1)^{2}=16t^{2}-8t+1.
  • Segundo, y(t)=3t+2 então \big(y(t)\big)^{2}=(3t+2)^{2}=9t^{2}+12t+4.
  • Somando, f\big(x(t),y(t)\big)=\big(x(t)\big)^{2}+\big(y(t)\big)^{2} =(16t^{2}-8t+1)+(9t^{2}+12t+4).
  • Simplificando os termos semelhantes: f\big(x(t),y(t)\big)=25t^{2}+4t+5.
Isso significa que, ao integrar, vamos sempre integrar o polinômio 25t^{2}+4t+5 multiplicado pelo fator correspondente ( \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}, x' ou y').

Passo 4

Calculo as derivadas x'(t) e y'(t) e a velocidade:
  • x'(t)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(4t-1)=4.
  • y'(t)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(3t+2)=3.
  • A velocidade (magnitude do vetor derivada) é \sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Note que aqui a velocidade é constante (porque a curva é um segmento com parametrização afim), o que simplifica muito as integrais.

Passo 5

Calculo \displaystyle \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}s.
  • Usando a fórmula: \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_{0}^{2} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\;\mathrm{d}t =\int_{0}^{2} \big(25t^{2}+4t+5\big)\cdot 5\;\mathrm{d}t.
  • Fatorando o 5: \int_{C} f\,\mathrm{d}s=5\int_{0}^{2} \big(25t^{2}+4t+5\big)\;\mathrm{d}t.
  • Calculo a integral do polinômio: \int \big(25t^{2}+4t+5\big)\mathrm{d}t=\frac{25}{3}t^{3}+2t^{2}+5t.
  • Avaliando de 0 a 2: \left[\frac{25}{3}t^{3}+2t^{2}+5t\right]_{0}^{2} =\frac{25}{3}\cdot 8 + 2\cdot 4 + 5\cdot 2 =\frac{200}{3}+8+10 =\frac{200}{3}+18 =\frac{254}{3}.
  • Multiplicando pelo 5: \int_{C} f\,\mathrm{d}s=5\cdot\frac{254}{3}=\frac{1270}{3}.

Passo 6

Calculo \displaystyle \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}x.
  • Fórmula: \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{2} f\big(x(t),y(t)\big)\,x'(t)\;\mathrm{d}t =\int_{0}^{2} \big(25t^{2}+4t+5\big)\cdot 4\;\mathrm{d}t.
  • Fatorando o 4: \int_{C} f\,\mathrm{d}x=4\int_{0}^{2}\big(25t^{2}+4t+5\big)\mathrm{d}t.
  • Já calculamos \displaystyle \int_{0}^{2}\big(25t^{2}+4t+5\big)\mathrm{d}t=\dfrac{254}{3}. Portanto \int_{C} f\,\mathrm{d}x=4\cdot\frac{254}{3}=\frac{1016}{3}.

Passo 7

Calculo \displaystyle \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}y.
  • Fórmula: \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}y=\int_{0}^{2} f\big(x(t),y(t)\big)\,y'(t)\;\mathrm{d}t =\int_{0}^{2} \big(25t^{2}+4t+5\big)\cdot 3\;\mathrm{d}t.
  • Fatorando o 3: \int_{C} f\,\mathrm{d}y=3\int_{0}^{2}\big(25t^{2}+4t+5\big)\mathrm{d}t.
  • Usando \displaystyle \int_{0}^{2}\big(25t^{2}+4t+5\big)\mathrm{d}t=\dfrac{254}{3}: \int_{C} f\,\mathrm{d}y=3\cdot\frac{254}{3}=254.

Resposta

\displaystyle \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}s=\frac{1270}{3}
\displaystyle \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}x=\frac{1016}{3}
\displaystyle \int_{C} f(x,y)\,\mathrm{d}y=254

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