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Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo foi dado no enunciado):
- A função escalar:
. - A curva
é o segmento de reta parametrizado por - As integrais que precisamos calcular são:
-
. -
. -
.
-
Nada mais foi dado. A partir dessa parametrização devemos substituir na função e aplicar as fórmulas de integração de curvas.
Passo 2
Vou explicar as fórmulas que vou usar (cada uma é uma regra padrão para integrais ao longo de uma curva parametrizada).
- Parametrização: uma curva
dada por com variando de a . - Integral de linha de uma função escalar em relação ao comprimento de arco
: Aqui e . A raiz é a velocidade e transforma em elemento de comprimento . - Integral de linha em relação a
: Isso vem de . - Integral de linha em relação a
: Isso vem de .
Agora aplico essas fórmulas com
e
.
Passo 3
Substituo a parametrização na função
para obter
em termos de
.
- Primeiro,
então - Segundo,
então - Somando,
- Simplificando os termos semelhantes:
Isso significa que, ao integrar, vamos sempre integrar o polinômio
multiplicado pelo fator correspondente (
,
ou
).
Passo 4
Calculo as derivadas
e
e a velocidade:
-
-
- A velocidade (magnitude do vetor derivada) é
Note que aqui a velocidade é constante (porque a curva é um segmento com parametrização afim), o que simplifica muito as integrais.
Passo 5
Calculo
.
- Usando a fórmula:
- Fatorando o
: - Calculo a integral do polinômio:
- Avaliando de
a : - Multiplicando pelo
:
Passo 6
Calculo
.
- Fórmula:
- Fatorando o
: - Já calculamos
. Portanto
Passo 7
Calculo
.
- Fórmula:
- Fatorando o
: - Usando
: