\hline 53. & \begin{tabular}{l}
O raio de um tubo de água na secção transversal \mathrm{S}_{2} é de 0,2 \mathrm{~m} e a velocidade de escoamento, é de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é a velocidade na secção S_{1} do estreitamento do tubo, onde o raio é de 0,1 \mathrm{~m} ? \
A 3 \
B 6 \
C 9 \
D 12

Passo 1

O enunciado dá os raios e uma velocidade em duas seções do tubo e pergunta a velocidade na seção estreita. Dados fornecidos:
r_{2}=0,2\\ \mathrm{m},\quad v_{2}=3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
r_{1}=0,1\\ \mathrm{m}
Pergunta: qual é a velocidade v_{1} na seção S_{1} (onde o raio é r_{1})?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo): num escoamento estacionário de um fluido incompressível em um tubo, a quantidade de fluido que entra por uma secção por unidade de tempo é igual à que sai por outra secção — isso é conservação de massa para escoamento contínuo. Em forma de fórmula usamos a equação da continuidade:
A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}
onde:
  • A_{1} é a área da secção S_{1} (m²),
  • A_{2} é a área da secção S_{2} (m²),
  • v_{1} e v_{2} são as velocidades médias do fluido nessas secções (m/s).
Explicando bem: A é a área da secção transversal do tubo; se a área diminui, para manter o mesmo fluxo volumétrico (quantidade de volume por tempo), a velocidade tem que aumentar. Aqui as áreas serão círculos com raios dados.

Passo 3

Fórmula da área de um círculo (lembrando o que significa cada símbolo):
A=\pi r^{2}
onde r é o raio do círculo e \pi é a constante \approx 3,1416. Agora calculamos as duas áreas (vou manter o \pi simbólico porque ele cancela depois, assim fica mais limpo):
Área na seção S_{1}:
A_{1}=\pi r_{1}^{2}=\pi\,(0,1)^{2}=\pi\cdot 0,01=0,01\pi\\ \mathrm{m}^{2}
Área na seção S_{2} (peguei r_{2} do enunciado):
A_{2}=\pi r_{2}^{2}=\pi\,(0,2)^{2}=\pi\cdot 0,04=0,04\pi\\ \mathrm{m}^{2}

Passo 4

Agora usamos a equação da continuidade \;A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}\; e isolamos v_{1}:
v_{1}=\frac{A_{2}}{A_{1}}\,v_{2}
Substituindo A_{1}=0,01\pi e A_{2}=0,04\pi:
v_{1}=\frac{0,04\pi}{0,01\pi}\,v_{2}
Observe que o \pi cancela:
v_{1}=\frac{0,04}{0,01}\,v_{2}
Calcule a razão das áreas:
\frac{0,04}{0,01}=4
Portanto
v_{1}=4\,v_{2}

Passo 5

Substituímos v_{2}=3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}:
v_{1}=4\cdot 3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}=12\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
Interpretação rápida (intuição): como o raio foi reduzido de 0,2\\ \mathrm{m} para 0,1\\ \mathrm{m} (metade), a área caiu para um quarto, então a velocidade aumenta por fator 4. Você pode usar essa regra rápida na prova: se o raio reduz à metade, a velocidade fica 4 vezes maior; se o raio duplica, a velocidade fica 4 vezes menor, etc. Força aí — você mandou bem acompanhando passo a passo!

Resposta

D\quad 12\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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