\hline 7^{\mathrm{a}} QUESTÃO & & Valor: 1,00 \
\hline \multicolumn{3}{|l|}{Seja f(x)=x^{2}+3 x+2. Calcule S=\left(1-\frac{2}{f(1)}\right)\left(1-\frac{2}{f(2)}\right)\left(1-\frac{2}{f(3)}\right) \cdots\left(1-\frac{2}{f(2025)}\right).} \

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}+3x+2 e pede para calcular o produto
S=\left(1-\frac{2}{f(1)}\right)\left(1-\frac{2}{f(2)}\right)\left(1-\frac{2}{f(3)}\right)\cdots\left(1-\frac{2}{f(2025)}\right).
Informações relevantes que temos: os fatores são da forma 1-\dfrac{2}{f(n)} com n variando de 1 a 2025. O objetivo é simplificar esse produto e obter um valor numérico simplificado.

Passo 2

Primeiro vamos manipular um fator geral. Observe a forma de f(x). Factorizando o polinômio:
f(x)=x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Essa fatoração vem de procurar dois números cuja soma é 3 e cujo produto é 2: são 1 e 2, portanto x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).

Passo 3

Substituindo f(n)=(n+1)(n+2) dentro de um fator genérico, obtemos para cada n
1-\frac{2}{f(n)}=1-\frac{2}{(n+1)(n+2)}.
Vamos escrever isso como uma única fração. Fazendo a subtração:
1-\frac{2}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)(n+2)-2}{(n+1)(n+2)}.
Agora expandindo o numerador e simplificando:
(n+1)(n+2)-2=n^{2}+3n+2-2=n^{2}+3n=n(n+3).
Portanto cada fator pode ser escrito como
1-\frac{2}{f(n)}=\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}.

Passo 4

A fração \dfrac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)} pode ser separada em dois quocientes:
\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{n+3}{n+2}.
Isso é útil porque o produto dos fatores para n=1 até N se separa em dois produtos que telescopam. Assim, para N=2025 temos
S=\prod_{n=1}^{2025}\frac{n}{n+1}\cdot\prod_{n=1}^{2025}\frac{n+3}{n+2}.
Por propriedade de produtos, isso é
S=\left(\prod_{n=1}^{2025}\frac{n}{n+1}\right)\left(\prod_{n=1}^{2025}\frac{n+3}{n+2}\right).

Passo 5

Calculemos o primeiro produto. Note que
\prod_{n=1}^{N}\frac{n}{n+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{N}{N+1}.
Quase tudo cancela: no numerador fica 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot N=N! e no denominador fica 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot(N+1)=\dfrac{(N+1)!}{1}. Portanto
\prod_{n=1}^{N}\frac{n}{n+1}=\frac{N!}{(N+1)!}=\frac{1}{N+1}.
Aplicando com N=2025 teremos mais adiante 1/(2026).

Passo 6

Agora o segundo produto:
\prod_{n=1}^{N}\frac{n+3}{n+2}=\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{6}{5}\cdots\frac{N+3}{N+2}.
Também telescopa: quase tudo cancela e permanece apenas
\prod_{n=1}^{N}\frac{n+3}{n+2}=\frac{N+3}{3}.
Uma forma rápida por fatoriais: numerador é (4\cdot5\cdots(N+3))=\dfrac{(N+3)!}{3!} e denominador é (3\cdot4\cdots(N+2))=\dfrac{(N+2)!}{2!}. Fazendo a divisão obtém-se \dfrac{N+3}{3}.

Passo 7

Juntando os dois resultados para N=2025:
S=\frac{1}{2026}\cdot\frac{2028}{3}=\frac{2028}{3\cdot 2026}.
Agora simplificamos a fração. Primeiro calcule os produtos no denominador: 3\cdot 2026=6078. Assim
S=\frac{2028}{6078}.
Dividindo numerador e denominador por 6 (pois ambos são divisíveis por 2 e por 3):
\frac{2028}{6078}=\frac{2028\div 6}{6078\div 6}=\frac{338}{1013}.
Verificação rápida dos fatores: 338=2\cdot 13^{2} e 1013 não é divisível por 2 nem por 13, logo a fração está na forma irredutível.

Passo 8

Resumo intuitivo (dica para prova): ao ver termos do tipo 1-\dfrac{\text{constante}}{\text{produto de dois termos lineares}} tente fatorar o quadrático e reduzir cada fator a uma razão que permita separação em frações do tipo \dfrac{n+a}{n+b}. Esses produtos costumam telescopar fortemente e dar expressões simples em N. Respira fundo: essa técnica é poderosa e rápida em prova.

Resposta

\dfrac{338}{1013}

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