\hline
QUESTÃO & & Valor: 1,00 \
\hline \multicolumn{3}{|l|}{Seja
. Calcule
.} \
\hline \multicolumn{3}{|l|}{Seja
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular o produto
Informações relevantes que temos: os fatores são da forma
com
variando de
a
. O objetivo é simplificar esse produto e obter um valor numérico simplificado.
Passo 2
Primeiro vamos manipular um fator geral. Observe a forma de
. Factorizando o polinômio:
Essa fatoração vem de procurar dois números cuja soma é
e cujo produto é
: são
e
, portanto
.
Passo 3
Substituindo
dentro de um fator genérico, obtemos para cada
Vamos escrever isso como uma única fração. Fazendo a subtração:
Agora expandindo o numerador e simplificando:
Portanto cada fator pode ser escrito como
Passo 4
A fração
pode ser separada em dois quocientes:
Isso é útil porque o produto dos fatores para
até
se separa em dois produtos que telescopam. Assim, para
temos
Por propriedade de produtos, isso é
Passo 5
Calculemos o primeiro produto. Note que
Quase tudo cancela: no numerador fica
e no denominador fica
. Portanto
Aplicando com
teremos mais adiante
.
Passo 6
Agora o segundo produto:
Também telescopa: quase tudo cancela e permanece apenas
Uma forma rápida por fatoriais: numerador é
e denominador é
. Fazendo a divisão obtém-se
.
Passo 7
Juntando os dois resultados para
:
Agora simplificamos a fração. Primeiro calcule os produtos no denominador:
. Assim
Dividindo numerador e denominador por
(pois ambos são divisíveis por
e por
):
Verificação rápida dos fatores:
e
não é divisível por
nem por
, logo a fração está na forma irredutível.
Passo 8
Resumo intuitivo (dica para prova): ao ver termos do tipo
tente fatorar o quadrático e reduzir cada fator a uma razão que permita separação em frações do tipo
. Esses produtos costumam telescopar fortemente e dar expressões simples em
. Respira fundo: essa técnica é poderosa e rápida em prova.