\hline 5{ }^{\mathrm{a}} QUESTÃO & & Valor: 1,00 \
\hline \multicolumn{3}{|c|}{Prove que as tangentes a uma elipse e a seu círculo principal maior tiradas por pontos situados sobre uma reta paralela ao eixo menor dessa elipse se intersectam no prolongamento do eixo maior.} \

Passo 1

O enunciado pede que se prove o seguinte: dadas uma elipse e o seu círculo principal maior, escolha uma reta paralela ao eixo menor da elipse (isto é, uma reta vertical se o eixo maior estiver no eixo x). Tome os pontos de interseção dessa reta com a elipse e com o círculo principal maior e desenhe as tangentes à elipse e ao círculo nesses pontos. Mostrar que essas duas tangentes se intersectam sobre o prolongamento do eixo maior da elipse.
Informações relevantes fornecidas (assumidas tacitamente para formalizar):
  • Seja a elipse centrada na origem com semi-eixos a (semi-eixo maior) e b (semi-eixo menor), com a>b>0. A sua equação é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
  • O círculo principal maior associado tem centro na origem e raio a; sua equação é
x^{2}+y^{2}=a^{2}.
  • Considere uma reta paralela ao eixo menor, que podemos escrever como x=h (com h\neq 0 para evitar degeneração). Essa reta corta a elipse em um ponto A(h,y_{1}) e o círculo em um ponto B(h,y_{2}) (podemos escolher os pontos na mesma “ramificação” em cima ou embaixo do eixo x, para ter sinais compatíveis de y_{1} e y_{2}).
  • Objetivo: provar que as tangentes à elipse em A e ao círculo em B se encontram em um ponto cuja ordenada é 0, ou seja, sobre o eixo maior (eixo x).

Passo 2

Encontrar as ordenadas y_{1} e y_{2} dos pontos de interseção com a reta x=h.
Substituindo x=h na equação da elipse,
\frac{h^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1
logo
y_{1}^{2}=b^{2}\!\left(1-\frac{h^{2}}{a^{2}}\right)=\frac{b^{2}}{a^{2}}\,(a^{2}-h^{2}).
Substituindo x=h na equação do círculo,
h^{2}+y_{2}^{2}=a^{2}
logo
y_{2}^{2}=a^{2}-h^{2}.
Note que, para os pontos na mesma “ramificação” (acima ou abaixo do eixo x), tem-se a relação (a partir das igualdades acima)
y_{1}=\frac{b}{a}\,y_{2},
mas essa relação não será necessária para concluir a prova principal; a escrevemos só para compreensão.

Passo 3

Escrever a equação da tangente à elipse em A(h,y_{1}) e explicar de onde vem.
Uma forma padrão e muito útil da equação da tangente à elipse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 no ponto (x_{1},y_{1}) da elipse é
\frac{x\,x_{1}}{a^{2}}+\frac{y\,y_{1}}{b^{2}}=1.
Explicação didática rápida desse resultado: a derivada implícita dá a inclinação da tangente em (x_{1},y_{1}),
\frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}\Bigg|_{(x_{1},y_{1})}=-\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}.
A equação da reta tangente em forma “ponto-inclinação” é y-y_{1}=m(x-x_{1}). Se reorganizar essa reta usando a condição de que ela é a linearização (ou alternativamente substituir x=x_{1},y=y_{1} e igualar os termos de primeira ordem), chega-se à forma acima, que é a forma clássica da tangente à elipse. Para nosso ponto A(h,y_{1}) isso dá a equação
\frac{h\,x}{a^{2}}+\frac{y_{1}\,y}{b^{2}}=1.

Passo 4

Escrever a equação da tangente ao círculo em B(h,y_{2}) e explicar.
Para o círculo x^{2}+y^{2}=a^{2}, a equação da tangente no ponto (x_{2},y_{2}) do círculo é
x\,x_{2}+y\,y_{2}=a^{2}.
Isto decorre diretamente de derivação implícita (ou do produto escalar entre vetor posição e normal): a norma do vetor posição do ponto de tangência é a e a reta tangente tem coeficientes proporcionais a (x_{2},y_{2}). Aplicando em B(h,y_{2}) obtemos
h\,x+y_{2}\,y=a^{2}.

Passo 5

Mostrar que as duas tangentes se intersectam sobre o eixo maior.
Procuramos um ponto comum (x,y) que satisfaça simultaneamente
\frac{h\,x}{a^{2}}+\frac{y_{1}\,y}{b^{2}}=1
e
h\,x+y_{2}\,y=a^{2}.
Agora observe a coordenada y=0 (ponto sobre o eixo x). Substituindo y=0 na equação da tangente à elipse obtemos
\frac{h\,x}{a^{2}}=1\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{a^{2}}{h}.
Substituindo y=0 na equação da tangente ao círculo obtemos
h\,x=a^{2}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{a^{2}}{h}.
Portanto o mesmo valor x=\dfrac{a^{2}}{h} atende às duas equações quando y=0. Conclui-se que o ponto
\left(\frac{a^{2}}{h},\,0\right)
está sobre ambas as retas tangentes; logo as tangentes se intersectam nesse ponto. Esse ponto tem ordenada 0, isto é, pertence ao eixo x, que é o prolongamento do eixo maior da elipse.
Observação sobre h: para evitar divisão por zero, assumimos h\neq 0. O caso h=0 corresponde à reta que passa pelo centro (eixo maior), caso degenerado que não interessa à afirmação original sobre uma reta paralela ao eixo menor deslocada.

Passo 6

Resumo lógico final e comentário intuitivo (rápido e motivador).
  • Pegamos uma reta x=h paralela ao eixo menor; ela corta a elipse em A(h,y_{1}) e o círculo em B(h,y_{2}).
  • As tangentes nessas curvas em A e B têm, respectivamente, equações \dfrac{h x}{a^{2}}+\dfrac{y_{1} y}{b^{2}}=1 e h x+y_{2} y=a^{2}.
  • Ambos os segmentos são satisfeitos pelo ponto \left(\dfrac{a^{2}}{h},0\right), logo as tangentes se encontram nesse ponto sobre o eixo maior.
Isso encerra a prova. Dá para ver a beleza: por escolhermos a reta vertical, as componentes h nas fórmulas das tangentes fazem com que ambas as retas “apontem” para o mesmo ponto do eixo x, e voilà — geometria analítica simpática!

Resposta

As tangentes se intersectam no ponto \left(\dfrac{a^{2}}{h},0\right), que está sobre o prolongamento do eixo maior da elipse (assumindo h\neq 0).

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