e pede para determinar o valor de I e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
\text{limites de integração: } x=0 \text{ até } x=\frac{\pi}{2}.
\text{integrando: } \operatorname{sen}(x)\cos(x).
Não há mais informações escondidas — devemos calcular a integral definida e apresentar justificativa.
Passo 2
Escolhendo um método: vou usar a substituição simples u=\sin(x). Por que essa escolha? Porque a derivada de \sin(x) é \cos(x), e a presença de \cos(x) multiplicando \sin(x) torna a substituição direta e bem simples — é um dos usos mais básicos e comuns da técnica de substituição em integrais.
Explicando a técnica (mini-aula):
Substituição (método): quando a integral tem a forma \int f(g(x)) g'(x)\,dx, podemos pôr u=g(x) e du=g'(x)\,dx, transformando a integral em \int f(u)\,du. Aqui, g(x)=\sin(x) e g'(x)=\cos(x).
Passo 3
Aplicando a substituição:
Definimos
u=\sin(x).
Derivando ambos os lados em relação a x,
du=\cos(x)\,dx.
Nota: isto nos diz que o pedaço \cos(x)\,dx presente na integral é exatamente du, o que simplifica muito.
Passo 4
Troca dos limites de integração (importante em integrais definidas):
Quando x=0, temos
u=\sin(0)=0.
Quando x=\frac{\pi}{2}, temos
u=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Portanto os novos limites para u são de 0 a 1.
Passo 5
Reescrevendo a integral em u:
Substituindo u=\sin(x) e du=\cos(x)\,dx e usando os novos limites,