\hline
QUESTÃO 3: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine o valor da integral definida abaixo. Justifique sua resposta. I=\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x
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\hline Resposta: \
\hline
\end{tabular}

Passo 1

O enunciado dá a integral definida
I=\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx
e pede para determinar o valor de I e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
\text{limites de integração: } x=0 \text{ até } x=\frac{\pi}{2}.çãé
\text{integrando: } \operatorname{sen}(x)\cos(x).
Não há mais informações escondidas — devemos calcular a integral definida e apresentar justificativa.

Passo 2

Escolhendo um método: vou usar a substituição simples u=\sin(x). Por que essa escolha? Porque a derivada de \sin(x) é \cos(x), e a presença de \cos(x) multiplicando \sin(x) torna a substituição direta e bem simples — é um dos usos mais básicos e comuns da técnica de substituição em integrais.
Explicando a técnica (mini-aula):
Substituição (método): quando a integral tem a forma \int f(g(x)) g'(x)\,dx, podemos pôr u=g(x) e du=g'(x)\,dx, transformando a integral em \int f(u)\,du. Aqui, g(x)=\sin(x) e g'(x)=\cos(x).

Passo 3

Aplicando a substituição:
Definimos
u=\sin(x).
Derivando ambos os lados em relação a x,
du=\cos(x)\,dx.
Nota: isto nos diz que o pedaço \cos(x)\,dx presente na integral é exatamente du, o que simplifica muito.

Passo 4

Troca dos limites de integração (importante em integrais definidas):
Quando x=0, temos
u=\sin(0)=0.
Quando x=\frac{\pi}{2}, temos
u=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Portanto os novos limites para u são de 0 a 1.

Passo 5

Reescrevendo a integral em u:
Substituindo u=\sin(x) e du=\cos(x)\,dx e usando os novos limites,
I=\int_{0}^{\pi/2} \sin(x)\cos(x)\,dx = \int_{0}^{1} u\,du.

Passo 6

Integrando em u (mini-aula sobre antiderivadas):
A antiderivada (primitiva) de u em relação a u é
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C,
pois ao derivar \frac{u^{2}}{2} com respeito a u obtemos u. Para integral definida não precisamos do +C, apenas avaliamos a primitiva nos limites.

Passo 7

Avaliação da integral definida:
Usando a primitiva \frac{u^{2}}{2} e os limites 0 e 1,
I=\left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto a integral vale \tfrac{1}{2}.

Passo 8

Verificação alternativa (opcional curto): identidade trigonométrica
Também podemos notar a identidade de ângulo duplo \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x), então
\sin(x)\cos(x)=\frac{1}{2}\sin(2x),
e
I=\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\cos(x)\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2x)\,dx.
Fazendo a substituição t=2x ou integrando diretamente obtemos novamente \tfrac{1}{2}, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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