QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine a derivada da função
com relação à
. Justifique sua resposta.
Determine a derivada da função
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada de
em relação a
e justificar. A função dada é
Informações relevantes: a função é uma razão entre duas funções elementares (
no numerador e
no denominador). A pergunta é: qual é
?
Passo 2
Vamos usar a regra do quociente (regra para derivar uma fração). Se definirmos
como o numerador e
como o denominador, a regra do quociente diz:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a função no numerador; -
é a função no denominador; -
e são as derivadas de e ; - o resultado é a combinação
tudo dividido por .
Passo 3
Identificamos
e
:
Agora calculamos as derivadas
e
.
Conhecimentos usados:
Conhecimentos usados:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Aplicando:
Expliquei o passo: a constante
some (derivada zero) e a derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
, dando
.
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente com os
encontrados:
Mostrei a substituição direta:
e
.
Passo 5
Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandimos:
Agora usamos a identidade trigonométrica fundamental
. Agrupando os termos com fator
:
Portanto o numerador simplifica para
Passo 6
Com o numerador simplificado, a derivada fica
Este é o resultado final, obtido aplicando a regra do quociente e usando a identidade trigonométrica
.