QUESTÃO 4: (Cálculo Diferencial e Integral)
Determine a derivada da função g(x) com relação à x. Justifique sua resposta.
g(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{1-2 \cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada de g(x) em relação a x e justificar. A função dada é
g(x)=\frac{\sin(x)}{1-2\cos(x)}.
Informações relevantes: a função é uma razão entre duas funções elementares ( \sin no numerador e 1-2\cos no denominador). A pergunta é: qual é g'(x)?

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente (regra para derivar uma fração). Se definirmos u(x) como o numerador e v(x) como o denominador, a regra do quociente diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • u(x) é a função no numerador;
  • v(x) é a função no denominador;
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v;
  • o resultado é a combinação u'v-uv' tudo dividido por v^{2}.

Passo 3

Identificamos u e v:
u(x)=\sin(x),\qquad v(x)=1-2\cos(x).
Agora calculamos as derivadas u' e v'.
Conhecimentos usados:
  • A derivada de \sin(x) é \cos(x).
  • A derivada de \cos(x) é -\sin(x).
    Aplicando:
u'(x)=\cos(x),
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(1-2\cos(x)\big)=0-2\cdot\big(-\sin(x)\big)=2\sin(x).
Expliquei o passo: a constante 1 some (derivada zero) e a derivada de -2\cos(x) é -2 vezes a derivada de \cos(x), que é -\sin(x), dando 2\sin(x).

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente com os u,u',v,v' encontrados:
g'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{\cos(x)\,(1-2\cos(x))-\sin(x)\,(2\sin(x))}{\big(1-2\cos(x)\big)^{2}}.
Mostrei a substituição direta: u'v=\cos(x)(1-2\cos(x)) e uv'=\sin(x)\cdot 2\sin(x).

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandimos:
\cos(x)\,(1-2\cos(x))-\sin(x)\,(2\sin(x)) =\cos(x)-2\cos^{2}(x)-2\sin^{2}(x).
Agora usamos a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1. Agrupando os termos com fator -2:
-2\cos^{2}(x)-2\sin^{2}(x)=-2\big(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)\big)=-2\cdot 1=-2.
Portanto o numerador simplifica para
\cos(x)-2.

Passo 6

Com o numerador simplificado, a derivada fica
g'(x)=\frac{\cos(x)-2}{\big(1-2\cos(x)\big)^{2}}.
Este é o resultado final, obtido aplicando a regra do quociente e usando a identidade trigonométrica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1.

Resposta

g'(x)=\frac{\cos(x)-2}{\big(1-2\cos(x)\big)^{2}}

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