e^-z^2+2 xi=sumn=0^infty z^nn! Hn(xi)
Use isso para reobter H0, H1 e H2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
e^-z^2+2 xi = sumn=0^infty z^nn! Hn(xi)
O objetivo aqui é encontrar os polinômios de Hermite $ H_{0} $, $ H_{1} $ e $ H_{2} $. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de potências e como elas se relacionam com funções exponenciais. Basicamente, vamos expandir o lado esquerdo da equação em uma série de potências de $ z $ e comparar com a série do lado direito para identificar os $ H_{n}(\xi) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir uma função exponencial em série de potências. A série de Taylor da função $ e^{x} $ é:
e^x
No nosso caso, a função exponencial tem um expoente diferente: $ -z^{2+2 \xi} $. Vamos reescrever isso de uma forma que fique mais fácil de trabalhar:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Mas para simplificar, vamos considerar $ x = -z^{2+2 \xi} $ e expandir a série:
-z^2+2 xi

Passo 3

Agora, vamos comparar isso com a série dada no enunciado:
sumn=0^infty z^nn! Hn(xi)
Para encontrar $ H_{0} $, $ H_{1} $ e $ H_{2} $, precisamos igualar os coeficientes de $ z^{n} $ de ambas as séries. Ou seja, para cada termo de $ z^{n} $, teremos:
H0

Passo 4

Observando os expoentes de $ z $, vemos que para termos iguais, deve ser:
z
Isso implica que $ 2 + 2 \xi = 1 $, o que não faz sentido a menos que $ \xi = -\frac{1}{2} $. Parece que há alguma inconsistência na fórmula original. Normalmente, a série geradora dos polinômios de Hermite é:
n(2 + 2 xi) = n
Vamos assumir que houve um erro de digitação e usar a série geradora padrão dos polinômios de Hermite:
2 + 2 xi = 1

Passo 5

Agora, vamos expandir o lado esquerdo $ e^{2 z \xi - z^{2}} $ em série de potências de $ z $. Sabemos que:
e^2 z xi - z^2
Então:
z
Vamos expandir cada parte:
  1. $ e^{2 z \xi} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2 z \xi)^{k}}{k!} $
  2. $ e{-z{2}} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-z{2}){m}}{m!} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m} z^{2m}}{m!} $

Passo 6

Multiplicando essas duas séries:
e^2 z xi cdot e^-z^2 = ( sumk=0^infty (2 z xi)^kk! ) cdot ( summ=0^infty (-1)^m z^2mm! )
Para encontrar os termos até $ z^{2} $, vamos multiplicar os termos correspondentes:
  • Para $ n = 0 $:
    • $ k = 0 $, $ m = 0 $: $ \frac{(2 z \xi)^{0}}{0!} \cdot \frac{(-1)^{0} z^{0}}{0!} = 1 $
  • Para $ n = 1 $:
    • $ k = 1 $, $ m = 0 $: $ \frac{(2 z \xi)^{1}}{1!} \cdot \frac{(-1)^{0} z^{0}}{0!} = 2 \xi z $
  • For $ n = 2 $:
    • $ k = 0 $, $ m = 1 $: $ \frac{(2 z \xi)^{0}}{0!} \cdot \frac{(-1)^{1} z^{2}}{1!} = -z^{2} $
    • $ k = 2 $, $ m = 0 $: $ \frac{(2 z \xi)^{2}}{2!} \cdot \frac{(-1)^{0} z^{0}}{0!} = 2 \xi^{2} z^{2} $

Passo 7

Agora, somamos os termos encontrados:
  • Termo de $ z^{0} $: $ 1 $
  • Termo de $ z^{1} $: $ 2 \xi z $
  • Termo de $ z^{2} $: $ -z^{2} + 2 \xi^{2} z^{2} = (2 \xi^{2} - 1) z^{2} $
Então, a série fica:
z^0

Passo 8

Comparando com a série do enunciado:
sumn=0^infty z^nn! Hn(xi) = H0(xi) + H1(xi) z + H2(xi)2 z^2 + dots
Vamos igualar os coeficientes de cada potência de $ z $:
  • Para $ n = 0 $:
    • $ H_{0}(\xi) = 1 $
  • Para $ n = 1 $:
    • $ H_{1}(\xi) = 2 \xi $
  • Para $ n = 2 $:
    • $ \frac{H_{2}(\xi)}{2} = 2 \xi^{2} - 1 $
    • Multiplicando ambos os lados por 2: $ H_{2}(\xi) = 4 \xi^{2} - 2 $

Resposta

Os polinômios de Hermite são:
  • $ H_{0}(\xi) = 1 $
  • $ H_{1}(\xi) = 2 \xi $
  • $ H_{2}(\xi) = 4 \xi^{2} - 2 $

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