Use isso para reobter
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
O objetivo aqui é encontrar os polinômios de Hermite $ H_{0} $, $ H_{1} $ e $ H_{2} $. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de potências e como elas se relacionam com funções exponenciais. Basicamente, vamos expandir o lado esquerdo da equação em uma série de potências de $ z $ e comparar com a série do lado direito para identificar os $ H_{n}(\xi) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir uma função exponencial em série de potências. A série de Taylor da função $ e^{x} $ é:
No nosso caso, a função exponencial tem um expoente diferente: $ -z^{2+2 \xi} $. Vamos reescrever isso de uma forma que fique mais fácil de trabalhar:
Mas para simplificar, vamos considerar $ x = -z^{2+2 \xi} $ e expandir a série:
Passo 3
Agora, vamos comparar isso com a série dada no enunciado:
Para encontrar $ H_{0} $, $ H_{1} $ e $ H_{2} $, precisamos igualar os coeficientes de $ z^{n} $ de ambas as séries. Ou seja, para cada termo de $ z^{n} $, teremos:
Passo 4
Observando os expoentes de $ z $, vemos que para termos iguais, deve ser:
Isso implica que $ 2 + 2 \xi = 1 $, o que não faz sentido a menos que $ \xi = -\frac{1}{2} $. Parece que há alguma inconsistência na fórmula original. Normalmente, a série geradora dos polinômios de Hermite é:
Vamos assumir que houve um erro de digitação e usar a série geradora padrão dos polinômios de Hermite:
Passo 5
Agora, vamos expandir o lado esquerdo $ e^{2 z \xi - z^{2}} $ em série de potências de $ z $. Sabemos que:
Então:
Vamos expandir cada parte:
- $ e^{2 z \xi} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2 z \xi)^{k}}{k!} $
- $ e{-z{2}} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-z{2}){m}}{m!} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m} z^{2m}}{m!} $
Passo 6
Multiplicando essas duas séries:
Para encontrar os termos até $ z^{2} $, vamos multiplicar os termos correspondentes:
-
Para $ n = 0 $:
- $ k = 0 $, $ m = 0 $: $ \frac{(2 z \xi)^{0}}{0!} \cdot \frac{(-1)^{0} z^{0}}{0!} = 1 $
-
Para $ n = 1 $:
- $ k = 1 $, $ m = 0 $: $ \frac{(2 z \xi)^{1}}{1!} \cdot \frac{(-1)^{0} z^{0}}{0!} = 2 \xi z $
-
For $ n = 2 $:
- $ k = 0 $, $ m = 1 $: $ \frac{(2 z \xi)^{0}}{0!} \cdot \frac{(-1)^{1} z^{2}}{1!} = -z^{2} $
- $ k = 2 $, $ m = 0 $: $ \frac{(2 z \xi)^{2}}{2!} \cdot \frac{(-1)^{0} z^{0}}{0!} = 2 \xi^{2} z^{2} $
Passo 7
Agora, somamos os termos encontrados:
- Termo de $ z^{0} $: $ 1 $
- Termo de $ z^{1} $: $ 2 \xi z $
- Termo de $ z^{2} $: $ -z^{2} + 2 \xi^{2} z^{2} = (2 \xi^{2} - 1) z^{2} $
Então, a série fica:
Passo 8
Comparando com a série do enunciado:
Vamos igualar os coeficientes de cada potência de $ z $:
-
Para $ n = 0 $:
- $ H_{0}(\xi) = 1 $
-
Para $ n = 1 $:
- $ H_{1}(\xi) = 2 \xi $
-
Para $ n = 2 $:
- $ \frac{H_{2}(\xi)}{2} = 2 \xi^{2} - 1 $
- Multiplicando ambos os lados por 2: $ H_{2}(\xi) = 4 \xi^{2} - 2 $
Resposta
Os polinômios de Hermite são:
- $ H_{0}(\xi) = 1 $
- $ H_{1}(\xi) = 2 \xi $
- $ H_{2}(\xi) = 4 \xi^{2} - 2 $