Esboce
(como uma função de
) em
, e novamente para
bastante grande. Qualitativamente, o que acontece com
no decorrer do tempo?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma expressão matemática para $ w $:
A pergunta quer que a gente faça o esboço de $ |\Psi|^{2} $ em função de $ x $ para dois momentos específicos: quando $ t = 0 $ e quando $ t $ é bem grande. Além disso, precisamos explicar de forma qualitativa o que acontece com $ |\Psi|^{2} $ ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre a evolução temporal das funções de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ |\Psi|^{2} $ representa a densidade de probabilidade da função de onda $ \Psi $. Em $ t = 0 $, temos a densidade inicial da partícula, e para $ t $ grande, queremos ver como essa densidade evolui.
A expressão para $ w $ nos dá uma ideia de como a largura da função de onda muda com o tempo. Vamos analisar isso:
Quando $ t = 0 $:
Então, a largura inicial é $ \sqrt{a} $.
Para $ t $ muito grande:
O termo $ \left(\frac{2 \hbar a t}{m}\right)^{2} $ domina no denominador, então:
Isso mostra que, à medida que $ t $ aumenta, $ w $ diminui, ou seja, a largura da função de onda se espalha.
Passo 3
Vamos agora esboçar $ |\Psi|^{2} $ para os dois casos:
-
Em $ t = 0 $:
A função de onda é mais concentrada, com largura $ \sqrt{a} $. Graphicamente, $ |\Psi|^{2} $ seria uma curva bem estreita, típica de uma função gaussiana centrada em zero. -
Para $ t $ bastante grande:
A largura $ w $ diminui com o aumento de $ t $, o que significa que $ |\Psi|^{2} $ se espalha mais. No gráfico, a curva se alarga, tornando-se menos concentrada ao redor de zero.
Passo 4
Qualitativamente, o que acontece com $ |\Psi|^{2} $ ao longo do tempo? Inicialmente, a função de onda está bem concentrada, representando uma partícula com posição bem definida. Conforme o tempo passa, devido à incerteza quântica e à natureza ondulatória da partícula, a função de onda se espalha, indicando que a posição da partícula se torna menos definida.
Resposta
Em resumo, $ |\Psi|^{2} $ inicialmente possui uma largura determinada por $ \sqrt{a} $ quando $ t = 0 $. À medida que o tempo aumenta, a função de onda se espalha, tornando-se mais larga para valores grandes de $ t $. Isso reflete a crescente incerteza na posição da partícula ao longo do tempo.