Um homem de 1,80 m de altura avista o topo de um edifício sob um ângulo de 45^circ em relação à horizontal. Quando ele se aproxima 20 m do edifício, esse ângulo aumenta para 60^circ. Qual a altura do edifício?

Passo 1

O problema envolve um homem de 1,80 m de altura que observa o topo de um edifício sob dois ângulos de elevação diferentes conforme se aproxima: 45° e, depois de caminhar 20 m, 60°. Vamos usar trigonometria (ângulos de elevação e razão entre altura e distância horizontal) para determinar a altura do edifício.

Passo 2

Seja x a distância horizontal inicial do observador até a base do edifício e H a altura total do edifício. A altura do topo em relação ao olho do observador é H - 1,80.

Passo 3

Na primeira posição, o ângulo de elevação é 45°, então
tan(45^circ)=1=H - 1,80x
Na segunda posição, a distância até o edifício é x - 20 e o ângulo de elevação é 60°, então
tan(60^circ)=raiz3=H - 1,80x - 20

Passo 4

Da primeira equação obtemos H - 1,80 = x, logo H = x + 1,80. Substituindo na segunda:
raiz3 = xx - 20

Passo 5

Resolvendo para x:
raiz3(x - 20) = x raiz3,x - x = 20raiz3 x(raiz3 - 1) = 20raiz3 x = 20raiz3raiz3 - 1 = 10(3 + raiz3) = 30 + 10raiz3

Passo 6

Finalmente, a altura do edifício é
H = x + 1,80 = 30 + 10raiz3 + 1,80 = 31,8 + 10raiz3 approx 49,12 m

Resposta

A altura do edifício é 31,8 + 10raiz3 approx 49,12,m.

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