Questão 2. Considere as séries abaixo
(i) sumk=3^infty (-1)^kk ln (k) ln (ln (k)),
(ii) sumk=3^infty (-1)^kk(ln (k))^2,
e assinale a alternativa correta.
square A série (i) converge condicionalmente e a série (ii) converge absolutamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! Temos duas séries infinitas e precisamos descobrir se elas convergem de forma condicional ou absoluta. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência que ajudam a entender o comportamento dessas somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série (i):
sumk=3^infty (-1)^kk ln(k) ln(ln(k))
Essa é uma série alternada porque o termo (-1)^k alterna os sinais dos termos. Quando lidamos com séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência condicional. Esse teste diz que se os termos em módulo decrescem e tendem a zero, a série converge.

Passo 3

Vamos verificar se os termos em módulo da série (i) decrescem e tendem a zero:
ak = 1k ln(k) ln(ln(k))
À medida que k aumenta, k, ln(k) e ln(ln(k)) também aumentam, tornando ak cada vez menor. Além disso,
limk to infty ak = 0
Como os termos decrescem e tendem a zero, pelo Teste da Série Alternada, a série (i) converge.

Passo 4

Agora, vamos verificar a convergência absoluta da série (i). Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumk=3^infty 1k ln(k) ln(ln(k))
Para testar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Integral. Consideramos a integral correspondente:
integral3^infty 1x ln(x) ln(ln(x)) dx
Fazendo uma substituição, deixamos a integral em termos de u = ln(ln(x)), e descobrimos que a integral diverge. Portanto, a série dos valores absolutos diverge, o que significa que a série (i) converge condicionalmente.

Passo 5

Agora, vamos analisar a série (ii):
sumk=3^infty (-1)^kk (ln(k))^2
Novamente, temos uma série alternada. Vamos primeiro verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada.

Passo 6

Consideramos os termos em módulo:
bk = 1k (ln(k))^2
À medida que k aumenta, k e (ln(k))^2 aumentam, então bk diminui e tende a zero:
limk to infty bk = 0
Como os termos decrescem e tendem a zero, a série (ii) converge pelo Teste da Série Alternada.

Passo 7

Agora, vamos verificar a convergência absoluta da série (ii) analisando a série dos valores absolutos:
sumk=3^infty 1k (ln(k))^2
Utilizamos novamente o Teste da Integral:
integral3^infty 1x (ln(x))^2 dx
Com a substituição u = ln(x), a integral se torna:
integralln(3)^infty 1u^2 du
Essa integral converge, indicando que a série dos valores absolutos também converge. Portanto, a série (ii) converge absolutamente.

Resposta

A alternativa está correta: a série (i) converge condicionalmente e a série (ii) converge absolutamente.

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