Questão 2. Considere as séries abaixo
(i)
,
(ii)
,
e assinale a alternativa correta.
A série (i) converge condicionalmente e a série (ii) converge absolutamente.
(i)
(ii)
e assinale a alternativa correta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! Temos duas séries infinitas e precisamos descobrir se elas convergem de forma condicional ou absoluta. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência que ajudam a entender o comportamento dessas somas infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série (i):
Essa é uma série alternada porque o termo
alterna os sinais dos termos. Quando lidamos com séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência condicional. Esse teste diz que se os termos em módulo decrescem e tendem a zero, a série converge.
Passo 3
Vamos verificar se os termos em módulo da série (i) decrescem e tendem a zero:
À medida que
aumenta,
,
e
também aumentam, tornando
cada vez menor. Além disso,
Como os termos decrescem e tendem a zero, pelo Teste da Série Alternada, a série (i) converge.
Passo 4
Agora, vamos verificar a convergência absoluta da série (i). Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Para testar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Integral. Consideramos a integral correspondente:
Fazendo uma substituição, deixamos a integral em termos de
, e descobrimos que a integral diverge. Portanto, a série dos valores absolutos diverge, o que significa que a série (i) converge condicionalmente.
Passo 5
Agora, vamos analisar a série (ii):
Novamente, temos uma série alternada. Vamos primeiro verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada.
Passo 6
Consideramos os termos em módulo:
À medida que
aumenta,
e
aumentam, então
diminui e tende a zero:
Como os termos decrescem e tendem a zero, a série (ii) converge pelo Teste da Série Alternada.
Passo 7
Agora, vamos verificar a convergência absoluta da série (ii) analisando a série dos valores absolutos:
Utilizamos novamente o Teste da Integral:
Com a substituição
, a integral se torna:
Essa integral converge, indicando que a série dos valores absolutos também converge. Portanto, a série (ii) converge absolutamente.
Resposta
A alternativa está correta: a série (i) converge condicionalmente e a série (ii) converge absolutamente.