QUESTÃO 1)

O algoritmo a seguir descreve um método numérico iterativo empregado na obtenção de aproximações para os zeros de uma função contínua.
Inicialização \left[a_{0}, b_{0}\right]=[a, b]
Repetir
1. x_{k}=\frac{a_{k}+b_{k}}{2} ;
2. Se f\left(x_{k}\right) \times f\left(a_{k}\right)<0
Então a_{k+1}=a_{k}, b_{k+1}=x_{k}
Senão a_{k+1}=x_{k}, b_{k+1}=b_{k}
Até Verificar o critério de parada escolhido.
Seja f uma função dada por f(x)=3 x-e^{x}. Use o método numérico descrito acima e faça o que se pede:
a) (2 pontos) Mostre que existe uma raiz \bar{x} no intervalo [1,2].
b) (2 pontos) Esta raiz é única neste intervalo? Justifique detalhadamente sua resposta.
c) (3 pontos) Caso sua resposta tenha sido afirmativa no item b), determine a raiz \bar{x} da função f com \varepsilon \leq 2 \times 10^{-2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A função é f(x)=3x-e^{x}.
  • O método iterativo dado é o método da bisseção (inicializa [a_{0},b_{0}]=[a,b], em cada iteração toma x_{k}=(a_{k}+b_{k})/2 e conserva o subintervalo onde f muda de sinal).
    As perguntas:
    (a) Mostrar que existe uma raiz \bar{x} em [1,2].
    (b) Verificar se essa raiz é única no intervalo e justificar detalhadamente.
    (c) Caso a resposta de (b) seja afirmativa, determinar a raiz \bar{x} usando o método descrito com erro \varepsilon \leq 2\times 10^{-2}.

Passo 2

(a) Mostrar existência de raiz em [1,2] (teorema do valor intermedíario).
Explicação teórica (curtinha): o Teorema do Valor Intermediário diz que, se uma função f é contínua em [a,b] e f(a)\,f(b)<0, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Aqui f(x)=3x-e^{x} é composta de funções contínuas (reta e exponencial), logo contínua em [1,2].
Calcular os valores nos extremos (uso aproximações de e\approx2,7182818):
f(1)=3\cdot1-e^{1}=3-e\approx3-2,7182818\approx0,2817182>0.
f(2)=3\cdot2-e^{2}=6-e^{2}\approx6-7,3890561\approx-1,3890561<0.
Como f(1)>0 e f(2)<0, tem-se f(1)f(2)<0. Pelo TVI existe ao menos uma raiz \bar{x}\in(1,2).

Passo 3

(b) Unicidade da raiz em [1,2]. Estratégia e teoria: uma maneira natural é estudar o sinal da derivada para inferir monotonicidade em subintervalos e usar isso para garantir que não haja mais de uma mudança de sinal.
Calcule a derivada:
f'(x)=3-e^{x}.
Calcule onde f' muda de sinal:
f'(x)=0 \iff e^{x}=3 \iff x=\ln 3.
Numéricas: \ln 3\approx1,0986123, que pertence a [1,2]. Observações sobre f':
  • Para x<\ln 3, tem e^{x}<3 então f'(x)=3-e^{x}>0 (função crescente nessa parte).
  • Para x>\ln 3, tem e^{x}>3 então f'(x)=3-e^{x}<0 (função decrescente nessa parte).
Além disso, calcule a segunda derivada:
f''(x)=-e^{x}<0\quad\text{para todo }x,
ou seja, f é estritamente côncava em todo \mathbb{R} (curva “virada para baixo”) — isso garante que f tem um único máximo global, que ocorre exatamente em x=\ln 3.

Passo 4

(b) Concluir unicidade com argumentos didáticos e intuitivos:
  • Em [1,\ln 3] a função é crescente (porque f'>0 ali). Como f(1)>0, então f(x)>0 para todo x\in[1,\ln 3]. Logo não há raiz em [1,\ln 3].
  • Em [\ln 3,2] a função é estritamente decrescente (porque f'<0 ali). Uma função estritamente decrescente pode ter no máximo uma raiz. Como já sabemos que existe pelo menos uma raiz em (1,2), essa raiz deve estar em (\ln 3,2) e é única nesse subintervalo. Portanto a raiz em [1,2] é única.
Comentário amistoso: é comum usar a derivada para ver onde a função aumenta ou diminui; aqui isso mostra claramente que a função sobe até x=\ln3 e depois desce, logo só pode cortar o eixo x uma vez à direita do pico.

Passo 5

(c) Aplicar o método da bisseção para aproximar a raiz com erro \varepsilon\leq 2\times10^{-2}. Primeiro explicar o critério de parada (erro garantido):
  • Se o intervalo inicial é [a,b] e após n iterações o comprimento do subintervalo é (b-a)/2^{n}, então se escolhermos como aproximação o ponto médio do subintervalo resultante, o erro máximo garantido (distância entre a aproximação e a raiz verdadeira) é
\text{erro}\leq \frac{b-a}{2^{n+1}}.
(Explicação breve: o ponto médio está no centro do subintervalo de comprimento (b-a)/2^{n}, então a metade desse comprimento é a máxima distância até a raiz que está dentro do subintervalo.)
No nosso caso a=1, b=2, então b-a=1. Queremos \dfrac{1}{2^{n+1}}\leq 2\times10^{-2}. Resolver:
2^{n+1}\geq \frac{1}{2\times10^{-2}}=\frac{1}{0,02}=50.
Tomando log base 2 ou testando potências, 2^{5}=32<50 e 2^{6}=64\geq50. Logo n+1\geq6\Rightarrow n\geq5. Precisamos de pelo menos n=5 iterações para garantir o erro pedido.

Passo 6

(c) Executar 5 iterações do método da bisseção (vou mostrar cada passo, com avaliações numéricas aproximadas de e^{x} usando e\approx2,7182818). Vou manter aproximações com 6 casas decimais quando necessário.
Inicial: [a_{0},b_{0}]=[1,2].
1ª iteração: ponto médio
x_{1}=\frac{1+2}{2}=1,5.
Avaliar f(1,5)=3\cdot1,5-e^{1,5}=4,5-e^{1,5}.
Usando e^{1,5}\approx4,4816891 obtemos
f(1,5)\approx4,5-4,4816891\approx0,0183109>0.
Como f(1)\cdot f(1,5)>0, a raiz está em [1,5,\,2]. Novo intervalo: [a_{1},b_{1}]=[1,5,\,2].
2ª iteração:
x_{2}=\frac{1,5+2}{2}=1,75.
e^{1,75}\approx5,753032, então
f(1,75)\approx3\cdot1,75-e^{1,75}=5,25-5,753032\approx-0,503032<0.
Como f(1,5)\cdot f(1,75)<0, a raiz está em [1,5,\,1,75]. Novo intervalo: [a_{2},b_{2}]=[1,5,\,1,75].
3ª iteração:
x_{3}=\frac{1,5+1,75}{2}=1,625.
e^{1,625}\approx5,078256, então
f(1,625)\approx4,875-5,078256\approx-0,203256<0.
Como f(1,5)\cdot f(1,625)<0, a raiz está em [1,5,\,1,625]. Novo intervalo: [a_{3},b_{3}]=[1,5,\,1,625].
4ª iteração:
x_{4}=\frac{1,5+1,625}{2}=1,5625.
e^{1,5625}\approx4,768226, então
f(1,5625)\approx4,6875-4,768226\approx-0,080726<0.
Como f(1,5)\cdot f(1,5625)<0, a raiz está em [1,5,\,1,5625]. Novo intervalo: [a_{4},b_{4}]=[1,5,\,1,5625].
5ª iteração:
x_{5}=\frac{1,5+1,5625}{2}=1,53125.
e^{1,53125}\approx4,621180, então
f(1,53125)\approx4,59375-4,621180\approx-0,027430<0.
Como f(1,5)\cdot f(1,53125)<0, a raiz está no subintervalo final [a_{5},b_{5}]=[1,5,\,1,53125].
Após 5 iterações o subintervalo é [1,5,\,1,53125] cujo comprimento é 1/32=0,03125. A aproximação natural é o ponto médio desse intervalo:
\tilde{x}=\frac{1,5+1,53125}{2}=1,515625.
O erro máximo garantido é \leq\frac{1}{2^{6}}=\frac{1}{64}=0,015625, que satisfaz \leq2\times10^{-2}. Portanto \tilde{x}=1,515625 é uma aproximação válida com \varepsilon\leq0,02.

Passo 7

Resumo final didático e incentivo: concluímos que existe exatamente uma raiz em [1,2] e que, aplicando o método da bisseção por 5 iterações, obtemos a aproximação \tilde{x}=1,515625 com erro garantido menor que 0,02. Bom trabalho — a bisseção é um método seguro e ótimo quando se tem mudança de sinal! 😃

Resposta

(a) Existe pelo Teorema do Valor Intermediário, pois f(1)\approx0,2817182>0 e f(2)\approx-1,3890561<0.
(b) Sim. f'(x)=3-e^{x} muda de sinal em x=\ln 3\approx1,0986; f é crescente em [1,\ln3] (logo f>0 aí) e decrescente em [\ln3,2], portanto há exatamente uma raiz em [1,2].
(c) Aproximação por bisseção com erro \leq2\times10^{-2}: \bar{x}\approx1,515625 (obtida após 5 iterações; erro garantido \leq0,015625).

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