QUESTÃO 1)
O algoritmo a seguir descreve um método numérico iterativo empregado na obtenção de aproximações para os zeros de uma função contínua.
Inicialização
Repetir
1.
2. Se
Então
Senão
Até
Verificar o critério de parada escolhido.
Seja
uma função dada por
. Use o método numérico descrito acima e faça o que se pede:
a) (2 pontos) Mostre que existe uma raiz
no intervalo
.
b) (2 pontos) Esta raiz é única neste intervalo? Justifique detalhadamente sua resposta.
c) (3 pontos) Caso sua resposta tenha sido afirmativa no item b), determine a raiz
da função
com
.
| Inicialização |
|
||||
| Repetir |
|
||||
| Até | Verificar o critério de parada escolhido. |
a) (2 pontos) Mostre que existe uma raiz
b) (2 pontos) Esta raiz é única neste intervalo? Justifique detalhadamente sua resposta.
c) (3 pontos) Caso sua resposta tenha sido afirmativa no item b), determine a raiz
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A função é
. - O método iterativo dado é o método da bisseção (inicializa
, em cada iteração toma e conserva o subintervalo onde muda de sinal).
As perguntas:
(a) Mostrar que existe uma raizem .
(b) Verificar se essa raiz é única no intervalo e justificar detalhadamente.
(c) Caso a resposta de (b) seja afirmativa, determinar a raizusando o método descrito com erro .
Passo 2
(a) Mostrar existência de raiz em
(teorema do valor intermedíario).
Explicação teórica (curtinha): o Teorema do Valor Intermediário diz que, se uma função é contínua em
e
, então existe
tal que
. Aqui
é composta de funções contínuas (reta e exponencial), logo contínua em
.
Calcular os valores nos extremos (uso aproximações de ):
Explicação teórica (curtinha): o Teorema do Valor Intermediário diz que, se uma função
Calcular os valores nos extremos (uso aproximações de
Como
e
, tem-se
. Pelo TVI existe ao menos uma raiz
.
Passo 3
(b) Unicidade da raiz em
. Estratégia e teoria: uma maneira natural é estudar o sinal da derivada para inferir monotonicidade em subintervalos e usar isso para garantir que não haja mais de uma mudança de sinal.
Calcule a derivada:
Calcule a derivada:
Calcule onde
muda de sinal:
Numéricas:
, que pertence a
. Observações sobre
:
- Para
, tem então (função crescente nessa parte). - Para
, tem então (função decrescente nessa parte).
Além disso, calcule a segunda derivada:
ou seja,
é estritamente côncava em todo
(curva “virada para baixo”) — isso garante que
tem um único máximo global, que ocorre exatamente em
.
Passo 4
(b) Concluir unicidade com argumentos didáticos e intuitivos:
- Em
a função é crescente (porque ali). Como , então para todo . Logo não há raiz em . - Em
a função é estritamente decrescente (porque ali). Uma função estritamente decrescente pode ter no máximo uma raiz. Como já sabemos que existe pelo menos uma raiz em , essa raiz deve estar em e é única nesse subintervalo. Portanto a raiz em é única.
Comentário amistoso: é comum usar a derivada para ver onde a função aumenta ou diminui; aqui isso mostra claramente que a função sobe até
e depois desce, logo só pode cortar o eixo
uma vez à direita do pico.
Passo 5
(c) Aplicar o método da bisseção para aproximar a raiz com erro
. Primeiro explicar o critério de parada (erro garantido):
- Se o intervalo inicial é
e após iterações o comprimento do subintervalo é , então se escolhermos como aproximação o ponto médio do subintervalo resultante, o erro máximo garantido (distância entre a aproximação e a raiz verdadeira) é
(Explicação breve: o ponto médio está no centro do subintervalo de comprimento
, então a metade desse comprimento é a máxima distância até a raiz que está dentro do subintervalo.)
No nosso caso
,
, então
. Queremos
. Resolver:
Tomando log base 2 ou testando potências,
e
. Logo
. Precisamos de pelo menos
iterações para garantir o erro pedido.
Passo 6
(c) Executar 5 iterações do método da bisseção (vou mostrar cada passo, com avaliações numéricas aproximadas de
usando
). Vou manter aproximações com 6 casas decimais quando necessário.
Inicial:
.
1ª iteração: ponto médio
Avaliar
.
Usando obtemos
Usando
Como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
.
2ª iteração:
Como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
.
3ª iteração:
Como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
.
4ª iteração:
Como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
.
5ª iteração:
Como
, a raiz está no subintervalo final
.
Após 5 iterações o subintervalo é
cujo comprimento é
. A aproximação natural é o ponto médio desse intervalo:
O erro máximo garantido é
, que satisfaz
. Portanto
é uma aproximação válida com
.
Passo 7
Resumo final didático e incentivo: concluímos que existe exatamente uma raiz em
e que, aplicando o método da bisseção por
iterações, obtemos a aproximação
com erro garantido menor que
. Bom trabalho — a bisseção é um método seguro e ótimo quando se tem mudança de sinal! 😃
Resposta
(a) Existe pelo Teorema do Valor Intermediário, pois
e
.
(b) Sim. muda de sinal em
;
é crescente em
(logo
aí) e decrescente em
, portanto há exatamente uma raiz em
.
(c) Aproximação por bisseção com erro :
(obtida após 5 iterações; erro garantido
).
(b) Sim.
(c) Aproximação por bisseção com erro