Um homem dispara 12 tiros independentes num alvo. Suponha que a probabilidade dele atingir o alvo em qualquer um dos tiros seja 9/10. Qual a probabilidade de que ele atinja o alvo pelo menos uma vez?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um cara dá 12 tiros, cada um com probabilidade de acerto de , e quer saber a chance de ele acertar o alvo pelo menos uma vez. O conteúdo é probabilidade de distribuições binomiais e vamos usar o conceito de “evento complementar” (ou seja, calcular a probabilidade de não ocorrer nada e subtrair de 1).

Passo 2

Pra começar, vamos definir a variável aleatória. Seja X sim Binomial(n=12,,p=0.9) o número de acertos em 12 tiros. Como cada tiro é independente e tem probabilidade P(X = k) = binomnk,p^k,(1-p)^n-k de acerto, segue uma distribuição Binomial:
A fórmula geral é

Passo 3

A gente quer P(X >= 1) = 1 - P(X = 0) , ou seja, “pelo menos um acerto”. Em vez de somar de até 12 (o que dá um trabalhão), usamos o complementar:
Aqui é só a probabilidade de ele errar todos os 12 tiros.

Passo 4

Calculemos P(X=0) = (0.1)^12 . Se ele erra um tiro com probabilidade P(X >= 1) = 1 - (0.1)^12 , errar 12 seguidos é
Logo,

Passo 5

Pra dar um número que faça sentido, note que P(X >= 1) = 1 - 10^-12 approx 0,999999999999 . Então

Resposta

A probabilidade de ele acertar pelo menos uma vez é
boxed1 - 10^-12 approx 0,999999999999

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