Um homem dispara 12 tiros independentes num alvo. Suponha que a probabilidade dele atingir o alvo em qualquer um dos tiros seja 9/10. Qual a probabilidade de que ele atinja o alvo pelo menos uma vez?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um cara dá 12 tiros, cada um com probabilidade de acerto de
, e quer saber a chance de ele acertar o alvo pelo menos uma vez. O conteúdo é probabilidade de distribuições binomiais e vamos usar o conceito de “evento complementar” (ou seja, calcular a probabilidade de não ocorrer nada e subtrair de 1).
Passo 2
Pra começar, vamos definir a variável aleatória. Seja
o número de acertos em 12 tiros. Como cada tiro é independente e tem probabilidade
de acerto,
segue uma distribuição Binomial:
A fórmula geral é
Passo 3
A gente quer
, ou seja, “pelo menos um acerto”. Em vez de somar de
até 12 (o que dá um trabalhão), usamos o complementar:
Aqui
é só a probabilidade de ele errar todos os 12 tiros.
Passo 4
Calculemos
. Se ele erra um tiro com probabilidade
, errar 12 seguidos é
Logo,
Passo 5
Pra dar um número que faça sentido, note que
. Então
Resposta
A probabilidade de ele acertar pelo menos uma vez é