Um homem de peso w se agarra a uma escada de corda pendurada na parte de baixo de um balão de peso W. O balão está subindo com velocidade v_{o} em relação ao solo.
(a) Se o homem começar a descer a escada com velocidade \mathrm{v}_{\text {rel }} (em relação à escada), qual será a mudança de velocidade do balão (em relação ao solo)?
(b) Qual a velocidade do balão quando o homem pára de descer a escada?

Passo 1

O enunciado descreve um balão de peso W (massa M=W/g) subindo com velocidade constante v_{0} em relação ao solo, segurando um homem de peso w (massa m=w/g) que está apoiado na cesta. A escada de corda pendurada da cesta sobe junto com o balão. Quando o homem passa a descer com velocidade constante v_{\text{rel}} em relação à escada, queremos saber (a) a mudança de velocidade do balão e (b) qual será a velocidade do balão quando ele parar de descer.

Passo 2

Como o balão está subindo com velocidade constante, a força de empuxo no balão mais homem é igual a seus pesos somados:
F_{\text{empuxo}} = (M+m)\,g.
Logo, a resultante externa no sistema balã o+homem é zero, e a quantidade de movimento total se conserva. O momento inicial é
P_{0} = (M + m)\,v_{0}.

Passo 3

Chame v_{b} a velocidade (constante) do balão durante a descida do homem. A velocidade do homem em relação ao solo é
v_{\text{homem}} = v_{b} - v_{\text{rel}},
pois ele desce para baixo relativo à escada que sobe à velocidade v_{b}. Pela conservação do momento:
M\,v_{b} \;+\; m\,(v_{b} - v_{\text{rel}}) \;=\;(M + m)\,v_{0}.

Passo 4

Agrupando os termos em v_{b}:
(M + m)\,v_{b} \;-\; m\,v_{\text{rel}} \;=\;(M + m)\,v_{0} \quad\Longrightarrow\quad v_{b} = v_{0} \;+\;\frac{m}{M + m}\;v_{\text{rel}}.
Como m/(M+m)=\bigl(w/g\bigr)\big/\bigl((W+w)/g\bigr)=w/(W+w), a mudança de velocidade do balão é
\Delta v = v_{b}-v_{0} = \frac{w}{W + w}\;v_{\text{rel}}.

Passo 5

Quando o homem pára de descer, sua velocidade relativa à escada passa a ser zero v_{\text{rel}}=0. Substituindo em
v_{b}=v_{0}+\frac{w}{W+w}\,v_{\text{rel}}
vemos que v_{b}=v_{0}. Ou seja, o balão retorna à sua velocidade original.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta v = \frac{w}{W+w}\;v_{\text{rel}}.
(b) \displaystyle v_{b}=v_{0}.

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