Sétima Questão: A trigonometria é um ramo fundamental da matemática que estuda as relações entre os ângulos e os lados dos triângulos, além das propriedades das funções trigonométricas. Neste exercício, você deverá demonstrar propriedades importantes dessas funções, que são amplamente utilizadas em diversos campos da ciência e engenharia.
(i) Demonstre a identidade fundamental da trigonometria:
\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1
para todo ângulo \theta. Explique geometricamente e analiticamente por que essa relação é válida.
(ii) Demonstre as fórmulas de adição para seno e cosseno:
\begin{aligned} & \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \\\ & \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}
para quaisquer ângulos \alpha \mathrm{e} \beta. Forneça uma demonstração geométrica ou analítica.
(iii) A partir das fórmulas de adição, deduza as fórmulas de subtração:
\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar três fatos clássicos de trigonometria:
  1. A identidade fundamental \sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1.
  2. As fórmulas de adição
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\sin\beta, \quad \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta.
  1. A fórmula de subtração
\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\,\sin\beta.
Usaremos um argumento geométrico e outro analítico para o item (i), recorrendo à fórmula de Euler para o item (ii) e, finalmente, obtendo (iii) por substituição.

Passo 2

Demonstração geométrica de \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1:
Considere o círculo de raio 1 centrado na origem. Um ponto P na circunferência faz ângulo \theta com o eixo x. As coordenadas de P são (\cos\theta,\sin\theta). Pelo Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados das coordenadas vale o quadrado do raio:
\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1^{2} = 1.

Passo 3

Demonstração analítica de \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1:
Em um triângulo retângulo de hipotenusa 1, definimos \cos\theta = \tfrac{\text{adjacente}}{1} e \sin\theta = \tfrac{\text{oposto}}{1}. Pelas relações de Pitágoras no triângulo retângulo,
(\text{adjacente})^{2} + (\text{oposto})^{2} = (\text{hipotenusa})^{2} = 1^{2},
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\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1.

Passo 4

Demonstração das fórmulas de adição via fórmula de Euler:
Definimos
e^{i\theta} = \cos\theta + i\,\sin\theta.
Como e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}, expandimos ambos os lados:
(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)(\cos\beta + i\,\sin\beta) = \cos(\alpha+\beta) + i\,\sin(\alpha+\beta).
Multiplicando e agrupando parte real e imaginária:
\cos\alpha\,\cos\beta - \sin\alpha\,\sin\beta + i\bigl(\sin\alpha\,\cos\beta + \cos\alpha\,\sin\beta\bigr) = \cos(\alpha+\beta) + i\,\sin(\alpha+\beta).
Comparando reais e imaginários obtemos
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta, \quad \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\sin\beta.

Passo 5

Dedu­zindo a fórmula de subtração \sin(\alpha-\beta):
Basta usar \alpha+\bigl(-\beta\bigr) na identidade de adição e saber que \cos(-\beta)=\cos\beta e \sin(-\beta)=-\sin\beta. Assim,
\sin(\alpha-\beta) =\sin\bigl(\alpha+(-\beta)\bigr) =\sin\alpha\,\cos(-\beta)+\cos\alpha\,\sin(-\beta) =\sin\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\,\sin\beta.

Resposta

(i) \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
(ii) \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\sin\beta \phantom{(ii)} \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta.
(iii) \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\,\sin\beta.

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