Sétima Questão: A trigonometria é um ramo fundamental da matemática que estuda as relações entre os ângulos e os lados dos triângulos, além das propriedades das funções trigonométricas. Neste exercício, você deverá demonstrar propriedades importantes dessas funções, que são amplamente utilizadas em diversos campos da ciência e engenharia.
(i) Demonstre a identidade fundamental da trigonometria:
para todo ângulo
. Explique geometricamente e analiticamente por que essa relação é válida.
(ii) Demonstre as fórmulas de adição para seno e cosseno:
para quaisquer ângulos
. Forneça uma demonstração geométrica ou analítica.
(iii) A partir das fórmulas de adição, deduza as fórmulas de subtração:
(i) Demonstre a identidade fundamental da trigonometria:
(ii) Demonstre as fórmulas de adição para seno e cosseno:
(iii) A partir das fórmulas de adição, deduza as fórmulas de subtração:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar três fatos clássicos de trigonometria:
- A identidade fundamental
. - As fórmulas de adição
- A fórmula de subtração
Usaremos um argumento geométrico e outro analítico para o item (i), recorrendo à fórmula de Euler para o item (ii) e, finalmente, obtendo (iii) por substituição.
Passo 2
Demonstração geométrica de
:
Considere o círculo de raio 1 centrado na origem. Um ponto na circunferência faz ângulo
com o eixo
. As coordenadas de
são
. Pelo Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados das coordenadas vale o quadrado do raio:
Considere o círculo de raio 1 centrado na origem. Um ponto
Passo 3
Demonstração analítica de
:
Em um triângulo retângulo de hipotenusa 1, definimos e
. Pelas relações de Pitágoras no triângulo retângulo,
Em um triângulo retângulo de hipotenusa 1, definimos
logo
Passo 4
Demonstração das fórmulas de adição via fórmula de Euler:
Definimos
Definimos
Como
, expandimos ambos os lados:
Multiplicando e agrupando parte real e imaginária:
Comparando reais e imaginários obtemos
Passo 5
Deduzindo a fórmula de subtração
:
Basta usar na identidade de adição e saber que
e
. Assim,
Basta usar
Resposta
(i)
.
(ii) .
(iii) .
(ii)
(iii)