Sexta Questão: A trigonometria é um ramo da matemática que teve sua origem na antiguidade, com civilizações como os babilônios, egípcios e gregos, que buscavam entender as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos para resolver problemas de astronomia, navegação e construção. Foi com os trabalhos de Hiparco e Ptolomeu que a trigonometria começou a ser sistematizada, levando à definição das funções trigonométricas básicas que utilizamos até hoje.
(i) Contextualize brevemente a origem histórica da trigonometria, destacando sua motivação inicial e o desenvolvimento por algumas das civilizações antigas.
(ii) Conceitue as funções trigonométricas elementares - seno, cosseno e tangente - indicando suas definições no triângulo retângulo.
(iii) Explique, geometricamente, como essas funções estão relacionadas aos ângulos e aos lados de um triângulo retângulo.
(iv) Cite ao menos dois exemplos práticos de aplicações das funções trigonométricas na ciência ou na engenharia.
(i) Contextualize brevemente a origem histórica da trigonometria, destacando sua motivação inicial e o desenvolvimento por algumas das civilizações antigas.
(ii) Conceitue as funções trigonométricas elementares - seno, cosseno e tangente - indicando suas definições no triângulo retângulo.
(iii) Explique, geometricamente, como essas funções estão relacionadas aos ângulos e aos lados de um triângulo retângulo.
(iv) Cite ao menos dois exemplos práticos de aplicações das funções trigonométricas na ciência ou na engenharia.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
(i) contextualizar brevemente a origem histórica da trigonometria, destacando motivações iniciais e desenvolvimento por civilizações antigas;
(ii) conceituar as funções trigonométricas elementares seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo;
(iii) explicar geometricamente como essas funções se relacionam aos ângulos e lados de um triângulo retângulo;
(iv) dar dois exemplos práticos de aplicação em ciência ou engenharia.
O conteúdo principal é trigonometria básica: definições e aplicações em triângulos.
(i) contextualizar brevemente a origem histórica da trigonometria, destacando motivações iniciais e desenvolvimento por civilizações antigas;
(ii) conceituar as funções trigonométricas elementares seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo;
(iii) explicar geometricamente como essas funções se relacionam aos ângulos e lados de um triângulo retângulo;
(iv) dar dois exemplos práticos de aplicação em ciência ou engenharia.
O conteúdo principal é trigonometria básica: definições e aplicações em triângulos.
Passo 2
A trigonometria surgiu nas antigas civilizações que precisavam medir distâncias e ângulos para tarefas práticas. Os babilônios (cerca de 2000 a.C.) agrupavam estrelas em constelações e usavam tabelas aproximadas de razões entre segmentos. Os egípcios aplicavam proporções em construções e na medição de pirâmides. Já os gregos deram o passo teórico: Hiparco (c. 160 a.C.) criou a primeira “tabela de cordas” que correspondia à nossa noção de seno, e Ptolomeu (c. 150 d.C.) compilou no Almagesto relações angulares e tabelas mais precisas, sistematizando as funções que hoje usamos.
Passo 3
Num triângulo retângulo, considere um ângulo agudo
, o cateto oposto
, o cateto adjacente
e a hipotenusa
. As definições elementares são
Elas traduzem a relação entre o ângulo
e os comprimentos dos seus lados.
Passo 4
Geometricamente, se você fixa um ângulo
num triângulo retângulo, o seno mede “quão alto” é o cateto oposto em relação à hipotenusa, o cosseno mede “o quanto” o cateto adjacente se projeta na hipotenusa, e a tangente compara diretamente cateto oposto e adjacente. Visualize o círculo unitário: projetando o ponto de coordenadas
sobre os eixos, a coordenada vertical é o seno e a horizontal é o cosseno; a tangente aparece como a reta que toca o círculo e intercepta a reta
, cujo comprimento vai ser
.
Passo 5
Dois exemplos práticos:
- Em engenharia civil, para determinar a altura de um prédio sem medir diretamente, basta apontar um teodolito num ângulo
até o topo e usar . - Em eletrônica, na análise de circuitos de corrente alternada, as tensões e correntes são funções senoidais em que o coeficiente de fase entre elas é descrito por
e , permitindo calcular potências reativa e aparente.
Resposta
(i) A trigonometria nasceu na antiguidade para resolver problemas de astronomia, navegação e construção, com babilônios criando tabelas de razões, egípcios aplicando proporções em edificações e gregos — Hiparco e Ptolomeu — sistematizando essas relações em tabelas e fórmulas.
(ii) Em um triângulo retângulo, sendo o cateto oposto,
o cateto adjacente e
a hipotenusa, definimos
(ii) Em um triângulo retângulo, sendo
(iii) Geometricamente, o seno mede a “altura” relativa à hipotenusa, o cosseno mede a “base” relativa à hipotenusa e a tangente compara altura e base diretamente; no círculo unitário,
e
são as coordenadas do ponto correspondente ao ângulo
.
(iv) Exemplos de aplicação: medição indireta de alturas em topografia usando , e análise de correntes e tensões senoidais em circuitos de corrente alternada na engenharia elétrica.
(iv) Exemplos de aplicação: medição indireta de alturas em topografia usando