Sexta Questão: A trigonometria é um ramo da matemática que teve sua origem na antiguidade, com civilizações como os babilônios, egípcios e gregos, que buscavam entender as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos para resolver problemas de astronomia, navegação e construção. Foi com os trabalhos de Hiparco e Ptolomeu que a trigonometria começou a ser sistematizada, levando à definição das funções trigonométricas básicas que utilizamos até hoje.
(i) Contextualize brevemente a origem histórica da trigonometria, destacando sua motivação inicial e o desenvolvimento por algumas das civilizações antigas.
(ii) Conceitue as funções trigonométricas elementares - seno, cosseno e tangente - indicando suas definições no triângulo retângulo.
(iii) Explique, geometricamente, como essas funções estão relacionadas aos ângulos e aos lados de um triângulo retângulo.
(iv) Cite ao menos dois exemplos práticos de aplicações das funções trigonométricas na ciência ou na engenharia.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
(i) contextualizar brevemente a origem histórica da trigonometria, destacando motivações iniciais e desenvolvimento por civilizações antigas;
(ii) conceituar as funções trigonométricas elementares seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo;
(iii) explicar geometricamente como essas funções se relacionam aos ângulos e lados de um triângulo retângulo;
(iv) dar dois exemplos práticos de aplicação em ciência ou engenharia.
O conteúdo principal é trigonometria básica: definições e aplicações em triângulos.

Passo 2

A trigonometria surgiu nas antigas civilizações que precisavam medir distâncias e ângulos para tarefas práticas. Os babilônios (cerca de 2000 a.C.) agrupavam estrelas em constelações e usavam tabelas aproximadas de razões entre segmentos. Os egípcios aplicavam proporções em construções e na medição de pirâmides. Já os gregos deram o passo teórico: Hiparco (c. 160 a.C.) criou a primeira “tabela de cordas” que correspondia à nossa noção de seno, e Ptolomeu (c. 150 d.C.) compilou no Almagesto relações angulares e tabelas mais precisas, sistematizando as funções que hoje usamos.

Passo 3

Num triângulo retângulo, considere um ângulo agudo \theta, o cateto oposto CO, o cateto adjacente CA e a hipotenusa H. As definições elementares são
\sin(\theta) = \frac{CO}{H},
\cos(\theta) = \frac{CA}{H},
\tan(\theta) = \frac{CO}{CA}.
Elas traduzem a relação entre o ângulo \theta e os comprimentos dos seus lados.

Passo 4

Geometricamente, se você fixa um ângulo \theta num triângulo retângulo, o seno mede “quão alto” é o cateto oposto em relação à hipotenusa, o cosseno mede “o quanto” o cateto adjacente se projeta na hipotenusa, e a tangente compara diretamente cateto oposto e adjacente. Visualize o círculo unitário: projetando o ponto de coordenadas (\cos\theta,\sin\theta) sobre os eixos, a coordenada vertical é o seno e a horizontal é o cosseno; a tangente aparece como a reta que toca o círculo e intercepta a reta x=1, cujo comprimento vai ser \tan(\theta).

Passo 5

Dois exemplos práticos:
  1. Em engenharia civil, para determinar a altura de um prédio sem medir diretamente, basta apontar um teodolito num ângulo \theta até o topo e usar \text{altura} = \text{distância ao prédio}\times\tan(\theta)âé.
  2. Em eletrônica, na análise de circuitos de corrente alternada, as tensões e correntes são funções senoidais em que o coeficiente de fase entre elas é descrito por \sin e \cos, permitindo calcular potências reativa e aparente.

Resposta

(i) A trigonometria nasceu na antiguidade para resolver problemas de astronomia, navegação e construção, com babilônios criando tabelas de razões, egípcios aplicando proporções em edificações e gregos — Hiparco e Ptolomeu — sistematizando essas relações em tabelas e fórmulas.
(ii) Em um triângulo retângulo, sendo CO o cateto oposto, CA o cateto adjacente e H a hipotenusa, definimos
\sin(\theta)=\frac{CO}{H},\quad \cos(\theta)=\frac{CA}{H},\quad \tan(\theta)=\frac{CO}{CA}.
(iii) Geometricamente, o seno mede a “altura” relativa à hipotenusa, o cosseno mede a “base” relativa à hipotenusa e a tangente compara altura e base diretamente; no círculo unitário, \sin(\theta) e \cos(\theta) são as coordenadas do ponto correspondente ao ângulo \theta.
(iv) Exemplos de aplicação: medição indireta de alturas em topografia usando \tan, e análise de correntes e tensões senoidais em circuitos de corrente alternada na engenharia elétrica.

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