\underline{1}^{\text {a }} QUESTÃO (Valor: \mathbf{2 , 0} ): Uma partícula descreve uma trajetória contida num plano, sendo o vetor posição da partícula dado por: \vec{r}=(4+4 \sin t) \hat{i}+(t) \hat{j}+(4 \cos t) \hat{k}, onde as constantes são dadas no sistema SI. Determine:
(a) (Valor: \mathbf{1 , 0} ) o vetor velocidade e o vetor aceleração;
(b) (Valor: \mathbf{1 , 0} ) o módulo da aceleração.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula no espaço em função do tempo
\vec r(t)=(4+4\sin t)\,\hat\imath + (t)\,\hat\jmath + (4\cos t)\,\hat k
e pede (a) o vetor velocidade \vec v(t) e o vetor aceleração \vec a(t), e (b) o módulo de \vec a(t). Para isso usamos que
– velocidade é a derivada de \vec r(t) em relação a t,
– aceleração é a derivada de \vec v(t) em relação a t,
– o módulo de um vetor \vec a=(a_x,a_y,a_z) é \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.

Passo 2

Calculamos a velocidade
\vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl[(4+4\sin t)\,\hat\imath\bigr] +\frac{d}{dt}\bigl[t\,\hat\jmath\bigr] +\frac{d}{dt}\bigl[(4\cos t)\,\hat k\bigr].
Derivando cada componente:
\frac{d}{dt}(4+4\sin t)=4\cos t, \quad \frac{d}{dt}(t)=1, \quad \frac{d}{dt}(4\cos t)=-4\sin t.
Logo
\vec v(t)=4\cos t\,\hat\imath + 1\,\hat\jmath -4\sin t\,\hat k.

Passo 3

Agora a aceleração
\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl[4\cos t\,\hat\imath\bigr] +\frac{d}{dt}\bigl[1\,\hat\jmath\bigr] +\frac{d}{dt}\bigl[-4\sin t\,\hat k\bigr].
Derivando:
\frac{d}{dt}(4\cos t)=-4\sin t, \quad \frac{d}{dt}(1)=0, \quad \frac{d}{dt}(-4\sin t)=-4\cos t.
Portanto
\vec a(t)=-4\sin t\,\hat\imath + 0\,\hat\jmath -4\cos t\,\hat k =-4\sin t\,\hat\imath -4\cos t\,\hat k.

Passo 4

Para o módulo de \vec a(t)=(-4\sin t,\;0,\;-4\cos t) usamos
|\vec a(t)|=\sqrt{(-4\sin t)^2+0^2+(-4\cos t)^2} =\sqrt{16\sin^2 t+16\cos^2 t} =4\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t} =4.

Resposta

(a) \displaystyle \vec v(t)=4\cos t\,\hat\imath+1\,\hat\jmath-4\sin t\,\hat k \displaystyle \vec a(t)=-4\sin t\,\hat\imath-4\cos t\,\hat k
(b) \displaystyle |\vec a(t)|=4

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