Sejam H um subgrupo normal de um grupo G e N triang<=<=ft G. Mostre que N triang<=<=ft H e H / N triang<=<=ft G / N.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois subgrupos normais de G, sendo Ntriang<=<=ft G e Htriang<=<=ft G, com Nsubseteq H. Precisamos mostrar duas coisas:
  1. Que N é normal em H, isto é, Ntriang<=<=ft H.
  2. Que o quociente H/N é normal em G/N, isto é, H/Ntriang<=<=ft G/N.
Vamos usar a definição de normalidade via conjugação de elementos e a propriedade de grupos quocientes.

Passo 2

Para provar que Ntriang<=<=ft H, basta verificar que, para todo hin H e todo nin N, o elemento h n h^-1 fica em N. Mas como hin Hsubseteq G e Ntriang<=<=ft G, temos
h n h^-1;in;N
Logo hNh^-1subseteq N para todo hin H, o que mostra que N é normal em H.

Passo 3

Agora queremos ver que H/N é normal em G/N. Primeiro, sabendo que Nsubseteq H, o conjunto de classes H/N é um subgrupo de G/N. Para a normalidade, tome qualquer classe gNin G/N. Precisamos ver que
(gN)(H/N)(gN)^-1;subseteq;H/N
De fato, usando propriedades de quocientes e o fato de Htriang<=<=ft G (isto é, gHg^-1=H), temos
(gN)(H/N)(gN)^-1 =l(gHg^-1r)N / N = HN / N = H/N
Portanto (gN)(H/N)(gN)^-1 = H/N, e H/N é normal em G/N.

Resposta

N triang<=<=ft H e H/N triang<=<=ft G/N.

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