Sejam
um subgrupo normal de um grupo
e
. Mostre que
e
.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois subgrupos normais de
, sendo
e
, com
. Precisamos mostrar duas coisas:
- Que
é normal em , isto é, . - Que o quociente
é normal em , isto é, .
Vamos usar a definição de normalidade via conjugação de elementos e a propriedade de grupos quocientes.
Passo 2
Para provar que
, basta verificar que, para todo
e todo
, o elemento
fica em
. Mas como
e
, temos
Logo
para todo
, o que mostra que
é normal em
.
Passo 3
Agora queremos ver que
é normal em
. Primeiro, sabendo que
, o conjunto de classes
é um subgrupo de
. Para a normalidade, tome qualquer classe
. Precisamos ver que
De fato, usando propriedades de quocientes e o fato de
(isto é,
), temos
Portanto
, e
é normal em
.