Um hospital realiza 7 cirurgias complexas de um determinado tipo por semana. Sabe-se que 65% dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Para 7 pacientes que serão submetidos à cirurgia em uma semana, determine:
(Para os itens (a) a (d) considere arredondamento para a terceira casa decimal, probabilidades no intervalo [0,1] e tolerância de 0.01 .
Para o item (e) será considerado uma casa decimal e tolerância de 0.1).
a. A probabilidade de que todos sobrevivam. square
b. A probabilidade de que pelo menos 6 sobrevivam. square
c. A probabilidade de que no máximo 3 sobrevivam. square
d. A probabilidade de que pelo menos 2 e no máximo 4 sobrevivam. square
e. Qual o número esperado de sobrevientes entre os pacientes que serão submetidos à cirurgia em uma semana? square

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória X que conta o número de pacientes sobreviventes em n=7 cirurgias independentes, cada uma com probabilidade de sucesso p=0.65. Logo Xsim Binomial(n=7,p=0.65) e usaremos a fórmula
P(X=k)=binom7k,p^k,(1-p)^7-k

Passo 2

Para o item (a) queremos P(X=7). Pela fórmula,
P(X=7)=binom77(0.65)^7(0.35)^0=(0.65)^7approx0.049

Passo 3

Para o item (b) queremos P(X>=6)=P(X=6)+P(X=7). Calculamos
P(X=6)=binom76(0.65)^6(0.35)^1 =7cdot(0.65)^6cdot0.35approx0.185,
e já temos P(X=7)approx0.049. Assim
P(X>=6)approx0.185+0.049=0.234

Passo 4

Para o item (c) queremos P(X<=3)=sumk=0^3 P(X=k). Calculamos cada termo:
P(X=0)&=(0.35)^7approx0.000643, P(X=1)&=binom71(0.65)^1(0.35)^6approx0.008363, P(X=2)&=binom72(0.65)^2(0.35)^5approx0.046588, P(X=3)&=binom73(0.65)^3(0.35)^4approx0.144225
Somando,
P(X<=3)approx0.000643+0.008363+0.046588+0.144225=0.199819approx0.200

Passo 5

Para o item (d) queremos P(2<= X<=4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4). Já temos
P(X=2)approx0.046588 e P(X=3)approx0.144225. Falta
P(X=4)=binom74(0.65)^4(0.35)^3 =35cdot0.178506cdot0.042875approx0.26785
Logo
P(2<= X<=4)approx0.046588+0.144225+0.267850=0.458663approx0.459

Passo 6

Para o item (e), o valor esperado de X em uma distribuição binomial é
E[X]=n,p=7cdot0.65=4.55approx4.6

Resposta

(a) 0.049
(b) 0.234
(c) 0.200
(d) 0.459
(e) 4.6

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