How many interference maxima will be contained in the central diffraction maximum in the interference-diffraction pattern of two slits if the separation of the slits is exactly 5 times their width? How many will there be if the slit separation is an integral multiple of the slit width (that is, d=n a for any value of n )?
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
Dado: duas fendas idênticas de largura a e separação (entre centros) d.
Pergunta 1: quantas máximos de interferência cabem dentro do máximo difrativo central quando d=5a?
Pergunta 2: quantas máximos de interferência cabem dentro do máximo difrativo central quando d=na, sendo n um inteiro (isto é, d é um múltiplo inteiro de a)?
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas implicitamente pelo enunciado físico):
Posições dos mínimos do padrão de difração de uma única fenda.
Posições dos máximos do padrão de interferência de duas fendas.
Nada mais é requerido do enunciado.
Passo 2
Regra para os mínimos do padrão de difração por uma única fenda:
Para uma fenda de largura a a condição dos mínimos é
a\sin\theta = m'\lambda,
onde m' é um inteiro não nulo (m'=\pm1,\pm2,\dots), \lambda é o comprimento de onda da luz e \theta é o ângulo medido a partir da normal. Explicando: cada mínimo ocorre quando ondas vindas de partes diferentes da fenda interferem destrutivamente; o primeiro mínimo (à direita e à esquerda) tem m'=\pm1.
Consequência importante:
O máximo difrativo central está entre os primeiros mínimos à esquerda e à direita, ou seja, entre os ângulos que satisfazem \sin\theta = \pm \dfrac{\lambda}{a}. Então a região angular do máximo central é aquela com
|\sin\theta| \le \frac{\lambda}{a}.
Isso define a “envelope” difrativa que limita quais máximos de interferência são visíveis.
Passo 3
Regra para os máximos do padrão de interferência de duas fendas:
Para duas fendas separadas por d, as máximos de interferência ocorrem quando
d\sin\theta = m\lambda,
onde m é um inteiro (m=0,\pm1,\pm2,\dots). Aqui m=0 é o máximo central de interferência; m=\pm1 são os primeiros máximos laterais, e assim por diante.
Explicando as variáveis:
d é a separação entre os centros das fendas,
\lambda é o comprimento de onda,
m indexa os máximos de interferência.
Passo 4
Combinar as duas condições para saber quais máximos de interferência ficam dentro do máximo difrativo central:
Um máximo de interferência com índice m aparece em ângulo \theta tal que \sin\theta = \dfrac{m\lambda}{d}.
Para que esse máximo esteja dentro do máximo difrativo central é preciso
\left|\sin\theta\right| \le \frac{\lambda}{a}.
Substituindo \sin\theta da condição de interferência obtemos a desigualdade
Se acontecer |m| = \dfrac{d}{a} (ou seja, \dfrac{d}{a} é exatamente inteiro e igual a |m|), esse máximo de interferência coincide exatamente com um mínimo difrativo (a\sin\theta=m'\lambda com m'=\pm1), e portanto esse pico de interferência é suprimido (tem intensidade zero). Portanto, para máximos efetivamente visíveis dentro do máximo central devemos exigir a desigualdade estrita
|m| < \frac{d}{a},
enquanto se \dfrac{d}{a} não for inteiro a condição |m| \le \lfloor d/a\rfloor dá os m possíveis visíveis.
Passo 5
Contagem prática dos máximos de interferência:
Os índices m possíveis são inteiros simétricos em torno de zero: m=0,\pm1,\pm2,\dots.
Se o maior inteiro M que satisfaz |m| < \dfrac{d}{a} é M=\lfloor \dfrac{d}{a}\rfloor quando \dfrac{d}{a} não é inteiro, então os m vão de -M a +M, totalizando 2M+1 máximos visíveis.
Se \dfrac{d}{a}=n é inteiro, os máximos com |m|=n estão justamente nos mínimos difrativos e estão ausentes; os m visíveis vão de -(n-1) a +(n-1), totalizando 2(n-1)+1=2n-1 máximos.
Passo 6
Aplicação ao caso d=5a:
Aqui \dfrac{d}{a}=5 é inteiro. Pela regra do passo anterior, os máximos com |m|=5 cairiam exatamente nos mínimos difrativos e desaparecem.
Os máximos visíveis têm índices m=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, ou seja, 9 máximos no total.
Passo 7
Resposta para o caso geral d=na com n inteiro:
Se d=na com n inteiro, como explicado, os máximos com |m|=n coincidem com mínimos e são suprimidos.
Portanto os máximos visíveis dentro do máximo difrativo central são os com |m| \le n-1, totalizando