(2,5 pts) Considere o campe vetorial \vec{F}(x, y)=2 x \vec{i}+3 y^{2} \vec{j}.
(a) Mostre que \vec{F} é conservativo.
(b) Encontre f tal que \nabla f=\vec{F}.
(c) Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é o arco da parábola y=x^{2}+1 de (1,2) a (3.10).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec F(x,y)=2x\,\vec i+3y^2\,\vec j e pede: (a) mostrar que é conservativo, (b) achar f tal que \nabla f=\vec F e (c) calcular \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r na parábola y=x^2+1 de (1,2) a (3,10). Vamos usar o critério de igualdade de derivadas parciais e o teorema fundamental de cálculo para campos conservativos.

Passo 2

Para ver que \vec F é conservativo basta verificar se
P(x,y)=2x,\quad Q(x,y)=3y^2
satisfazem
\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculamos
\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(2x)=0
e
\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(3y^2)=0.
Como ambas derivadas são iguais, o campo é conservativo em \mathbb R^2.

Passo 3

Para achar o potencial f, integramos
\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=2x em x:
f(x,y)=\int 2x\,dx=x^2+g(y),
onde g é função só de y. Derivando em y,
\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=g'(y)
deve ser igual a Q=3y^2. Logo
g'(y)=3y^2\quad\Longrightarrow\quad g(y)=y^3+C.
Escolhendo C=0, obtemos
f(x,y)=x^2+y^3.

Passo 4

Como \vec F=\nabla f, o teorema fundamental dá
\int_C\vec F\cdot d\vec r \;=\; f\bigl(3,10\bigr)-f\bigl(1,2\bigr).
Calculamos
f(3,10)=3^2+10^3=9+1000=1009,\quad f(1,2)=1^2+2^3=1+8=9,
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\int_C\vec F\cdot d\vec r=1009-9=1000.

Resposta

(a) \vec F é conservativo porque \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x=0.
(b) f(x,y)=x^2+y^3 (até constante).
(c) \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r=1000.

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