(2,5 pts) Considere o campe vetorial
.
(a) Mostre que
é conservativo.
(b) Encontre
tal que
.
(c) Calcule
, onde
é o arco da parábola
de
a
.
(b) Encontre
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede: (a) mostrar que é conservativo, (b) achar
tal que
e (c) calcular
na parábola
de
a
. Vamos usar o critério de igualdade de derivadas parciais e o teorema fundamental de cálculo para campos conservativos.
Passo 2
Para ver que
é conservativo basta verificar se
satisfazem
.
Calculamos
e
.
Como ambas derivadas são iguais, o campo é conservativo em .
Calculamos
e
Como ambas derivadas são iguais, o campo é conservativo em
Passo 3
Para achar o potencial
, integramos
em
:
onde
é função só de
. Derivando em
,
deve ser igual a . Logo
deve ser igual a
Escolhendo
, obtemos
Passo 4
Como
, o teorema fundamental dá
Calculamos
logo
Resposta
(a)
é conservativo porque
.
(b) (até constante).
(c) .
(b)
(c)