([HUMES] - Capítulo 5, Exercício 1 - Adaptado) Dada a tabela,
\mathrm{x}_{\mathrm{i}} 5.9 6.0 6.1 6.2
\mathrm{y}_{\mathrm{i}} 34.8 36.0 37.2 38.4
Determine o polinômio interpolador que passa pelos quatro pontos dados, usando a) o polinômio na forma de Lagrange e b) o polinômio na forma de Newton. Calcule o valor de p(6,09) para ambos os casos.

Passo 1

O enunciado dá quatro pares (x_i,y_i):
(x_1,y_1)=(5,9,34,8),\quad (x_2,y_2)=(6,0,36,0),\quad (x_3,y_3)=(6,1,37,2),\quad (x_4,y_4)=(6,2,38,4).
(O formato acima mostra os valores; peguei todos os números da tabela do enunciado.)\n
O que o problema pede:
  • Determinar o polinômio interpolador que passa pelos quatro pontos usando a) a forma de Lagrange e b) a forma de Newton.
  • Calcular o valor p(6,09) para ambos os casos.\n
    Estou assumindo que há exatamente uma resposta correta para cada item.

Passo 2

Primeiro vamos inspecionar os dados para entender que tipo de polinômio precisamos. Uma ideia simples: verificar se os pontos estão alinhados (ou seja, se os y variam linearmente com x). Calculamos as taxas (inclinações) entre pares consecutivos:
\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{36,0-34,8}{6,0-5,9}=\frac{1,2}{0,1}=12,
\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=\frac{37,2-36,0}{6,1-6,0}=\frac{1,2}{0,1}=12,
\frac{y_4-y_3}{x_4-x_3}=\frac{38,4-37,2}{6,2-6,1}=\frac{1,2}{0,1}=12.
As três inclinações são iguais ( 12), logo os quatro pontos são colineares: existe um polinômio de grau 1 (uma reta) que passa por todos eles. Por unicidade da interpolação, qualquer forma (Lagrange, Newton, etc.) dará a mesma reta.

Passo 3

Vamos achar a reta explicitamente. A forma geral de uma reta é \;p(x)=ax+b\;, onde a é a inclinação e b o intercepto. Já vimos que a=12. Para achar b use um dos pontos, por exemplo (6,0,36,0):
36,0 = a\cdot 6,0 + b \quad\Rightarrow\quad 36,0 = 12\cdot 6,0 + b.
Calcule 12\cdot 6,0 = 72,0. Portanto
b = 36,0 - 72,0 = -36,0.
Assim a reta é
p(x)=12x-36.
Isso resolve o problema em essência, mas como o enunciado pede explicitamente Lagrange e Newton, agora vou mostrar como cada método produz esse mesmo polinômio.

Passo 4

Forma de Lagrange — teoria rápida e aplicação didática:\n
A fórmula de Lagrange para os nós x_1,\dots,x_n é
p(x)=\sum_{i=1}^{n} y_i\, L_i(x),
onde cada polinômio base L_i(x) é
L_i(x)=\prod_{\substack{j=1\j\neq i}}^{n} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Duas propriedades úteis (que vou usar para evitar expandir cubos desnecessários):
  • \sum_{i=1}^{n} L_i(x)=1 para todo x (é um polinômio que vale 1 em cada nó, logo é identicamente 1).
  • \sum_{i=1}^{n} x_i L_i(x)=x para todo x (é um polinômio que vale x em cada nó, logo coincide com a identidade).\n
    Agora observe que nossos valores y_i são exatamente de uma função linear de x_i: y_i=12 x_i -36. Então, substituindo na soma de Lagrange,
p(x)=\sum_{i=1}^{4} (12x_i-36)\,L_i(x) = 12\sum_{i=1}^{4} x_i L_i(x) -36\sum_{i=1}^{4} L_i(x).
Usando as propriedades acima isso vira
p(x)=12\cdot x -36\cdot 1 = 12x-36.
Pronto: a forma de Lagrange, sem eu precisar expandir todos os L_i em forma cúbica, reproduz a reta \;p(x)=12x-36\;.

Passo 5

Forma de Newton — teoria e cálculo de diferenças divididas:\n
A forma de Newton usa diferenças divididas: o polinômio tem a forma
p(x)=f[x_1]+f[x_1,x_2](x-x_1)+f[x_1,x_2,x_3](x-x_1)(x-x_2)+\cdots
onde f[x_i]=y_i e
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{x_{i+1}-x_i},
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i},
etc.\n
Construindo a tabela de diferenças divididas para os nós dados (vou calcular apenas o necessário):
  • Zeroth order: f[x_1]=34,8, f[x_2]=36,0, f[x_3]=37,2, f[x_4]=38,4.
  • Primeira ordem:
f[x_1,x_2]=\frac{36,0-34,8}{6,0-5,9}=12,
f[x_2,x_3]=\frac{37,2-36,0}{6,1-6,0}=12,
f[x_3,x_4]=\frac{38,4-37,2}{6,2-6,1}=12.
  • Segunda ordem:
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{12-12}{6,1-5,9}=0,\qquad f[x_2,x_3,x_4]=\frac{12-12}{6,2-6,0}=0.
Portanto todas as diferenças de ordem ≥2 são zero. Assim o polinômio de Newton trunca nos dois primeiros termos:
p(x)=f[x_1]+f[x_1,x_2](x-x_1)=34,8+12(x-5,9).
Simplificando:
p(x)=34,8+12x-70,8=12x-36,
exatamente a mesma reta.

Passo 6

Cálculo de p(6,09) usando o polinômio \;p(x)=12x-36\;. Vamos calcular passo a passo:
12\cdot 6,09 = 73,08,
p(6,09)=73,08-36,00=37,08.
Como esperado, tanto Lagrange quanto Newton produzem o mesmo valor porque representam o mesmo polinômio.

Resposta

Lagrange: p(x)=12x-36, p(6,09)=37,08\n
Newton: p(x)=12x-36, p(6,09)=37,08

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