([HUMES] - Capítulo 5, Exercício 1 - Adaptado) Dada a tabela,
5.9
6.0
6.1
6.2
34.8
36.0
37.2
38.4
Determine o polinômio interpolador que passa pelos quatro pontos dados, usando a) o polinômio na forma de Lagrange e b) o polinômio na forma de Newton. Calcule o valor de
para ambos os casos.
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5.9 | 6.0 | 6.1 | 6.2 |
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34.8 | 36.0 | 37.2 | 38.4 |
Passo 1
O enunciado dá quatro pares
:
(O formato acima mostra os valores; peguei todos os números da tabela do enunciado.)\n
O que o problema pede:
O que o problema pede:
- Determinar o polinômio interpolador que passa pelos quatro pontos usando a) a forma de Lagrange e b) a forma de Newton.
- Calcular o valor
para ambos os casos.\n
Estou assumindo que há exatamente uma resposta correta para cada item.
Passo 2
Primeiro vamos inspecionar os dados para entender que tipo de polinômio precisamos. Uma ideia simples: verificar se os pontos estão alinhados (ou seja, se os
variam linearmente com
). Calculamos as taxas (inclinações) entre pares consecutivos:
As três inclinações são iguais (
), logo os quatro pontos são colineares: existe um polinômio de grau 1 (uma reta) que passa por todos eles. Por unicidade da interpolação, qualquer forma (Lagrange, Newton, etc.) dará a mesma reta.
Passo 3
Vamos achar a reta explicitamente. A forma geral de uma reta é
, onde
é a inclinação e
o intercepto. Já vimos que
. Para achar
use um dos pontos, por exemplo
:
Calcule
. Portanto
Assim a reta é
Isso resolve o problema em essência, mas como o enunciado pede explicitamente Lagrange e Newton, agora vou mostrar como cada método produz esse mesmo polinômio.
Passo 4
Forma de Lagrange — teoria rápida e aplicação didática:\n
A fórmula de Lagrange para os nós é
A fórmula de Lagrange para os nós
onde cada polinômio base
é
Duas propriedades úteis (que vou usar para evitar expandir cubos desnecessários):
-
=1 para todo (é um polinômio que vale 1 em cada nó, logo é identicamente 1). -
para todo (é um polinômio que vale em cada nó, logo coincide com a identidade).\n
Agora observe que nossos valoressão exatamente de uma função linear de : . Então, substituindo na soma de Lagrange,
Usando as propriedades acima isso vira
Pronto: a forma de Lagrange, sem eu precisar expandir todos os
em forma cúbica, reproduz a reta
.
Passo 5
Forma de Newton — teoria e cálculo de diferenças divididas:\n
A forma de Newton usa diferenças divididas: o polinômio tem a forma
A forma de Newton usa diferenças divididas: o polinômio tem a forma
onde
e
etc.\n
Construindo a tabela de diferenças divididas para os nós dados (vou calcular apenas o necessário):
Construindo a tabela de diferenças divididas para os nós dados (vou calcular apenas o necessário):
- Zeroth order:
, , , . - Primeira ordem:
- Segunda ordem:
Portanto todas as diferenças de ordem ≥2 são zero. Assim o polinômio de Newton trunca nos dois primeiros termos:
Simplificando:
exatamente a mesma reta.
Passo 6
Cálculo de
usando o polinômio
. Vamos calcular passo a passo:
Como esperado, tanto Lagrange quanto Newton produzem o mesmo valor porque representam o mesmo polinômio.
Resposta
Lagrange:
,
\n
Newton: ,
Newton: