Utilizando o método de Jacobi, determine a solução do sistema linear \mathrm{Ax}=\mathrm{b} dado a seguir. Considere como estimativa inicial \mathrm{X}_{0}=\left(\begin{array}{lllll}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)^{\mathrm{t}} \mathrm{e}, em seus cálculos, utilize duas casas decimais e técnica de arredondamento.
Inicialmente aplicando o critério das linhas, a fim de demostrar que o problema é factivel, temos: \alpha_{1}=\sum_{\substack{j=1 \\\ j \neq 1}}^{4} \frac{\left|a_{1, j}\right|}{\left|a_{1,1}\right|}=\frac{7}{10}<1, \alpha_{2}=\sum_{\substack{j=1 \\\ j \neq 2}}^{4} \frac{\left|a_{2, j}\right|}{\left|a_{2,2}\right|}=\frac{7}{15}<1, \alpha_{3}=\sum_{\substack{j=1 \\\ j \neq 3}}^{4} \frac{\left|a_{3, j}\right|}{\left|a_{33}\right|}=\frac{6}{20}<1, \alpha_{4}=\sum_{\substack{j=1 \\\ j=4}}^{4} \frac{\left|a_{4, j}\right|}{\left|a_{4,4}\right|}=\frac{5}{30}<1.
Como temos os \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}<1, garantimos que o método de Jacobi converge para a solução do sistema, assim podemos dar início ao processo iterativo.
Resolvemos o mesmo procedimento para os demais passos, de tal modo que o resultado para cada iteração e variável está especificado no Quadro 2.1
Quadro 2.1 | Resultados do método Jacobi
EI*
Passo
k
0
1
2
3
4
5
6
x1
0
3,20
0,78
0,99
1,02
1,00
1,00
x2
0
3,93
3,27
3,00
3,01
3,00
3,00
x3
0
-1,90
-2,00
-1,93
-2,00
-2,00
-2,00
x4
0
5,33
4,79
5,00
5,00
5,00
5,00
*Estimativa inicial (EI)
Fonte: elaborada pelo autor.
Passo 1
O enunciado pede determinar a solução do sistema linear \mathrm{A}\mathrm{x}=\mathrm{b} dado abaixo, usando como estimativa inicial \mathrm{X}_{0}=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)^{\mathrm{t}} e, em todos os cálculos, utilizar duas casas decimais com arredondamento. As equações são:
Condição extra: arredondar cada valor iterado para duas casas decimais (técnica de arredondamento).]
Passo 2
Aqui explico a fórmula iterativa que vamos aplicar (aquela pedida no enunciado). Para cada iteração k e cada componente i da solução, a atualização corresponde a isolar x_{i} na i-ésima equação usando os valores da iteração anterior. A fórmula geral é
a_{ii} é o elemento da diagonal da linha i da matriz A (dividimos por ele ao isolar x_i);
b_{i} é a entrada i do vetor b;
a_{ij} são os coeficientes da linha i (com j\neq i são os “outros” coeficientes);
x_{j}^{(k)} são as componentes da estimativa na iteração anterior k.
Regra prática para a prova: escreva para cada variável a expressão isolada e substitua os valores da iteração anterior; sempre arredonde o resultado final de cada componente para duas casas decimais antes de usar na próxima iteração.
Passo 3
Antes de iterar é bom checar que o método converge: usamos o critério das linhas (dominância diagonal por linhas). Para cada linha i computamos
Como \alpha_{i}<1 para todas as linhas, a convergência do processo iterativo está garantida (nessas condições de matriz).
Passo 4
Vamos realizar as iterações a partir de k=0 com \mathrm{X}_{0}=(0,0,0,0)^{\mathrm{t}}. Para cada nova componente faremos a conta e, em seguida, arredondaremos para duas casas decimais (usando vírgula nas decimais conforme pedido).
Iteração k=0\Rightarrowk=1:
Escrevendo as fórmulas isoladas (substituindo k=0):
Avaliação passo a passo: 2(3{,}93)=7{,}86; (-3)(-1{,}90)=+5{,}70; 2(5{,}33)=10{,}66.
Então dentro dos parênteses: 32-7{,}86-5{,}70-10{,}66=7{,}78.
Dividindo por 10: 0{,}778\Rightarrow x_{1}^{(2)}=0{,}78.
Avaliação: 1(3{,}20)=3{,}20; (-3)(3{,}93)=-11{,}79 e com o sinal da fórmula isso gera +11{,}79; 2(5{,}33)=10{,}66.
Somando: -38-3{,}20+11{,}79-10{,}66=-40{,}07.
Dividindo por 20: -2{,}0035\Rightarrow x_{3}^{(2)}=-2{,}00.
Avaliação: 2(3{,}20)=6{,}40; 2(3{,}93)=7{,}86; (-1)(-1{,}90)=+1{,}90 e o sinal da fórmula implica subtrair +1{,}90.
Somando: 160-6{,}40-7{,}86-1{,}90=143{,}84.
Dividindo por 30: 4{,}7946\ldots\Rightarrow x_{4}^{(2)}=4{,}79.
Cálculos: 2(0{,}78)=1{,}56; 3(-2{,}00)=-6{,}00 (com o sinal gera +6{,}00); (-2)(4{,}79)=-9{,}58 (com o sinal da fórmula vira +9{,}58).
Dentro: -59-1{,}56+6{,}00+9{,}58=-44{,}98. Dividindo por -15: 2{,}9986\Rightarrow x_{2}^{(3)}=3{,}00.
Observação (motivacional): a cada iteração usamos os valores já arredondados da iteração anterior — isto é importante para simular o que você fará na prova com cálculo manual. Aqui os valores se estabilizam rapidamente (a partir de k=5 não há alterações nos dígitos em duas casas decimais), então paramos.