Utilizando o método de Jacobi, determine a solução do sistema linear \mathrm{Ax}=\mathrm{b} dado a seguir. Considere como estimativa inicial \mathrm{X}_{0}=\left(\begin{array}{lllll}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)^{\mathrm{t}} \mathrm{e}, em seus cálculos, utilize duas casas decimais e técnica de arredondamento.
\left\{\begin{array}{c} 10 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}+2 x_{4}=32 \\\\ 2 x_{1}-15 x_{2}+3 x_{3}-2 x_{4}=-59 \\\ x_{1}-3 x_{2}+20 x_{3}+2 x_{4}=-38 \\\\ 2 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+30 x_{4}=160 \end{array} \Rightarrow A x=b \Rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 10 & 2 & -3 & 2 \\\\ 2 & -15 & 3 & -2 \\\\ 1 & -3 & 20 & 2 \\\\ 2 & 2 & -1 & 30 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 32 \\\\ -59 \\\\ -38 \\\\ 160 \end{array}\right)\right.

Resolução:

Inicialmente aplicando o critério das linhas, a fim de demostrar que o problema é factivel, temos: \alpha_{1}=\sum_{\substack{j=1 \\\ j \neq 1}}^{4} \frac{\left|a_{1, j}\right|}{\left|a_{1,1}\right|}=\frac{7}{10}<1, \alpha_{2}=\sum_{\substack{j=1 \\\ j \neq 2}}^{4} \frac{\left|a_{2, j}\right|}{\left|a_{2,2}\right|}=\frac{7}{15}<1, \alpha_{3}=\sum_{\substack{j=1 \\\ j \neq 3}}^{4} \frac{\left|a_{3, j}\right|}{\left|a_{33}\right|}=\frac{6}{20}<1, \alpha_{4}=\sum_{\substack{j=1 \\\ j=4}}^{4} \frac{\left|a_{4, j}\right|}{\left|a_{4,4}\right|}=\frac{5}{30}<1.
Como temos os \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}<1, garantimos que o método de Jacobi converge para a solução do sistema, assim podemos dar início ao processo iterativo.
Para \mathrm{k}=0, a substituição dos valores conhecidos e, estimativa inicial resultam em:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{1}=\frac{1}{a_{11}}\left(b_{1}-a_{12} x_{2}^{0}-a_{13} x_{3}^{0}-a_{14} x_{4}^{0}\right) \\\ x_{2}^{1}=\frac{1}{a_{22}}\left(b_{2}-a_{21} x_{1}^{0}-a_{23} x_{3}^{0}-a_{24} x_{4}^{0}\right) \\\ x_{3}^{1}=\frac{1}{a_{33}}\left(b_{3}-a_{31} x_{1}^{0}-a_{32} x_{2}^{0}-a_{34} x_{4}^{0}\right) \\\ x_{4}^{1}=\frac{1}{a_{44}}\left(b_{4}-a_{41} x_{1}^{0}-a_{42} x_{2}^{0}-a_{43} x_{3}^{0}\right)\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}x_{1}^{1}=\frac{1}{10}[32-2(0)-(-3)(0)-2(0)] \\\ x_{2}^{1}=\frac{1}{-15}[-59-2(0)-3(0)-(-2)(0)] \\\ x_{3}^{1}=\frac{1}{20}[-38-1(0)-(-3)(0)-2(0)] \\\ x_{4}^{1}=\frac{1}{30}[160-2(0)-2(0)-(-1)(0)]\end{array}\right.\right..
Assim, \left\{\begin{array}{c}x_{1}^{1}=3,2 \\\ x_{2}^{1}=3,93 \\\ x_{3}^{1}=-1,9 \\\ x_{4}^{1}=5,33\end{array}\right.
Para \mathrm{k}=1, temos:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{2}=\frac{1}{10}[32-2(3,93)-(-3)(-1,9)-2(5,33)] \\\ x_{2}^{2}=\frac{1}{-15}[-59-2(3,2)-3(-1,9)-(-2)(5,33)] \\\ x_{3}^{2}=\frac{1}{20}[-38-1(3,2)-(-3)(3,93)-2(5,33)] \\\ x_{4}^{2}=\frac{1}{30}[160-2(3,2)-2(3,93)-(-1)(-1,9)]\end{array}\right.
Assim, \left\{\begin{array}{l}x_{1}^{2}=0,78 \\\ x_{2}^{2}=3,47 \\\ x_{3}^{2}=-2,00 \\\ x_{4}^{2}=4,79\end{array}\right..
Resolvemos o mesmo procedimento para os demais passos, de tal modo que o resultado para cada iteração e variável está especificado no Quadro 2.1
Quadro 2.1 | Resultados do método Jacobi
EI* Passo
k 0 1 2 3 4 5 6
x1 0 3,20 0,78 0,99 1,02 1,00 1,00
x2 0 3,93 3,27 3,00 3,01 3,00 3,00
x3 0 -1,90 -2,00 -1,93 -2,00 -2,00 -2,00
x4 0 5,33 4,79 5,00 5,00 5,00 5,00
*Estimativa inicial (EI)
Fonte: elaborada pelo autor.

Passo 1

O enunciado pede determinar a solução do sistema linear \mathrm{A}\mathrm{x}=\mathrm{b} dado abaixo, usando como estimativa inicial \mathrm{X}_{0}=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)^{\mathrm{t}} e, em todos os cálculos, utilizar duas casas decimais com arredondamento. As equações são:
\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}-3x_{3}+2x_{4}=32,\\[4pt] 2x_{1}-15x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=-59,\\[4pt] x_{1}-3x_{2}+20x_{3}+2x_{4}=-38,\\[4pt] 2x_{1}+2x_{2}-x_{3}+30x_{4}=160. \end{cases}
Informações dadas importantes:
A=\begin{pmatrix} 10 & 2 & -3 & 2 \\\\ 2 & -15 & 3 & -2 \\\\ 1 & -3 & 20 & 2 \\\\ 2 & 2 & -1 & 30 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}32\\\ -59\\\ -38\\\ 160\end{pmatrix},\qquad X_{0}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Condição extra: arredondar cada valor iterado para duas casas decimais (técnica de arredondamento).]

Passo 2

Aqui explico a fórmula iterativa que vamos aplicar (aquela pedida no enunciado). Para cada iteração k e cada componente i da solução, a atualização corresponde a isolar x_{i} na i-ésima equação usando os valores da iteração anterior. A fórmula geral é
x_{i}^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_{i}-\sum_{\substack{j=1\\\ j\neq i}}^{n} a_{ij}\,x_{j}^{(k)}\Bigr).
Explicando cada termo, devagarinho:
  • a_{ii} é o elemento da diagonal da linha i da matriz A (dividimos por ele ao isolar x_i);
  • b_{i} é a entrada i do vetor b;
  • a_{ij} são os coeficientes da linha i (com j\neq i são os “outros” coeficientes);
  • x_{j}^{(k)} são as componentes da estimativa na iteração anterior k.
    Regra prática para a prova: escreva para cada variável a expressão isolada e substitua os valores da iteração anterior; sempre arredonde o resultado final de cada componente para duas casas decimais antes de usar na próxima iteração.

Passo 3

Antes de iterar é bom checar que o método converge: usamos o critério das linhas (dominância diagonal por linhas). Para cada linha i computamos
\alpha_{i}=\sum_{\substack{j=1\\\ j\neq i}}^{4}\frac{|a_{ij}|}{|a_{ii}|}.
Calculemos:
\alpha_{1}=\frac{|2|+|-3|+|2|}{|10|}=\frac{2+3+2}{10}=\frac{7}{10}=0,7<1,
\alpha_{2}=\frac{|2|+|3|+|-2|}{|-15|}=\frac{2+3+2}{15}=\frac{7}{15}\approx0,47<1,
\alpha_{3}=\frac{|1|+|-3|+|2|}{|20|}=\frac{1+3+2}{20}=\frac{6}{20}=0,30<1,
\alpha_{4}=\frac{|2|+|2|+|-1|}{|30|}=\frac{2+2+1}{30}=\frac{5}{30}\approx0,17<1.
Como \alpha_{i}<1 para todas as linhas, a convergência do processo iterativo está garantida (nessas condições de matriz).

Passo 4

Vamos realizar as iterações a partir de k=0 com \mathrm{X}_{0}=(0,0,0,0)^{\mathrm{t}}. Para cada nova componente faremos a conta e, em seguida, arredondaremos para duas casas decimais (usando vírgula nas decimais conforme pedido).
Iteração k=0 \Rightarrow k=1:
Escrevendo as fórmulas isoladas (substituindo k=0):
x_{1}^{(1)}=\frac{1}{10}\bigl(32-2x_{2}^{(0)}-(-3)x_{3}^{(0)}-2x_{4}^{(0)}\bigr) =\frac{1}{10}(32-0)=\frac{32}{10}=3{,}2\Rightarrow x_{1}^{(1)}=3{,}20.
x_{2}^{(1)}=\frac{1}{-15}\bigl(-59-2x_{1}^{(0)}-3x_{3}^{(0)}-(-2)x_{4}^{(0)}\bigr) =\frac{-59}{-15}=3{,}9333\ldots\Rightarrow x_{2}^{(1)}=3{,}93.
x_{3}^{(1)}=\frac{1}{20}\bigl(-38-1x_{1}^{(0)}-(-3)x_{2}^{(0)}-2x_{4}^{(0)}\bigr) =\frac{-38}{20}=-1{,}9\Rightarrow x_{3}^{(1)}=-1{,}90.
x_{4}^{(1)}=\frac{1}{30}\bigl(160-2x_{1}^{(0)}-2x_{2}^{(0)}-(-1)x_{3}^{(0)}\bigr) =\frac{160}{30}=5{,}3333\ldots\Rightarrow x_{4}^{(1)}=5{,}33.
Portanto, após a primeira iteração (valores já arredondados para usar na próxima) temos
\mathrm{X}_{1}\approx\begin{pmatrix}3{,}20\\\ 3{,}93\\\ -1{,}90\\\ 5{,}33\end{pmatrix}.

Passo 5

Agora passo k=1\Rightarrow k=2. Usamos os valores de \mathrm{X}_{1} (arredondados) nas fórmulas:
Cálculo de x_{1}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{1}{10}\bigl(32-2(3{,}93)-(-3)(-1{,}90)-2(5{,}33)\bigr).
Avaliação passo a passo:
2(3{,}93)=7{,}86; (-3)(-1{,}90)=+5{,}70; 2(5{,}33)=10{,}66.
Então dentro dos parênteses: 32-7{,}86-5{,}70-10{,}66=7{,}78.
Dividindo por 10: 0{,}778\Rightarrow x_{1}^{(2)}=0{,}78.
Cálculo de x_{2}^{(2)}:
x_{2}^{(2)}=\frac{1}{-15}\bigl(-59-2(3{,}20)-3(-1{,}90)-(-2)(5{,}33)\bigr).
Avaliação: 2(3{,}20)=6{,}40; 3(-1{,}90)=-5{,}70 (observe o sinal); (-2)(5{,}33)=-10{,}66.
Somando: -59-6{,}40}-(-5{,}70)+10{,}66=-49{,}04.
Dividindo por -15: (-49{,}04)/(-15)=3{,}2693\ldots\Rightarrow x_{2}^{(2)}=3{,}27.
Cálculo de x_{3}^{(2)}:
x_{3}^{(2)}=\frac{1}{20}\bigl(-38-1(3{,}20)-(-3)(3{,}93)-2(5{,}33)\bigr).
Avaliação: 1(3{,}20)=3{,}20; (-3)(3{,}93)=-11{,}79 e com o sinal da fórmula isso gera +11{,}79; 2(5{,}33)=10{,}66.
Somando: -38-3{,}20+11{,}79-10{,}66=-40{,}07.
Dividindo por 20: -2{,}0035\Rightarrow x_{3}^{(2)}=-2{,}00.
Cálculo de x_{4}^{(2)}:
x_{4}^{(2)}=\frac{1}{30}\bigl(160-2(3{,}20)-2(3{,}93)-(-1)(-1{,}90)\bigr).
Avaliação: 2(3{,}20)=6{,}40; 2(3{,}93)=7{,}86; (-1)(-1{,}90)=+1{,}90 e o sinal da fórmula implica subtrair +1{,}90.
Somando: 160-6{,}40-7{,}86-1{,}90=143{,}84.
Dividindo por 30: 4{,}7946\ldots\Rightarrow x_{4}^{(2)}=4{,}79.
Resumo da iteração k=2:
\mathrm{X}_{2}\approx\begin{pmatrix}0{,}78\\\ 3{,}27\\\ -2{,}00\\\ 4{,}79\end{pmatrix}.

Passo 6

Continuamos k=2\Rightarrow k=3 usando \mathrm{X}_{2}:
x_{1}^{(3)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{1}{10}\bigl(32-2(3{,}27)-(-3)(-2{,}00)-2(4{,}79)\bigr).
Cálculos: 2(3{,}27)=6{,}54; (-3)(-2{,}00)=6{,}00; 2(4{,}79)=9{,}58.
Dentro: 32-6{,}54-6{,}00-9{,}58=9{,}88. Dividindo: 0{,}988\Rightarrow x_{1}^{(3)}=0{,}99.
x_{2}^{(3)}:
x_{2}^{(3)}=\frac{1}{-15}\bigl(-59-2(0{,}78)-3(-2{,}00)-(-2)(4{,}79)\bigr).
Cálculos: 2(0{,}78)=1{,}56; 3(-2{,}00)=-6{,}00 (com o sinal gera +6{,}00); (-2)(4{,}79)=-9{,}58 (com o sinal da fórmula vira +9{,}58).
Dentro: -59-1{,}56+6{,}00+9{,}58=-44{,}98. Dividindo por -15: 2{,}9986\Rightarrow x_{2}^{(3)}=3{,}00.
x_{3}^{(3)}:
x_{3}^{(3)}=\frac{1}{20}\bigl(-38-1(0{,}78)-(-3)(3{,}27)-2(4{,}79)\bigr).
Cálculos: 1(0{,}78)=0{,}78; (-3)(3{,}27)=-9{,}81 (com o sinal da fórmula vira +9{,}81); 2(4{,}79)=9{,}58.
Dentro: -38-0{,}78+9{,}81-9{,}58=-38{,}55. Dividindo: -1{,}9275\Rightarrow x_{3}^{(3)}=-1{,}93.
x_{4}^{(3)}:
x_{4}^{(3)}=\frac{1}{30}\bigl(160-2(0{,}78)-2(3{,}27)-(-1)(-2{,}00)\bigr).
Cálculos: 2(0{,}78)=1{,}56; 2(3{,}27)=6{,}54; (-1)(-2{,}00)=2{,}00 (a fórmula subtrai 2{,}00).
Dentro: 160-1{,}56-6{,}54-2{,}00=149{,}90. Dividindo: 4{,}9966\ldots\Rightarrow x_{4}^{(3)}=5{,}00.
Resumo k=3:
\mathrm{X}_{3}\approx\begin{pmatrix}0{,}99\\\ 3{,}00\\\ -1{,}93\\\ 5{,}00\end{pmatrix}.

Passo 7

Mais duas iterações para verificar estabilização:
Iteração k=3\Rightarrow k=4 (usar \mathrm{X}_{3}):
  • Cálculos semelhantes dão
\mathrm{X}_{4}\approx\begin{pmatrix}1{,}02\\\ 3{,}01\\\ -2{,}00\\\ 5{,}00\end{pmatrix}.
Iteração k=4\Rightarrow k=5 (usar \mathrm{X}_{4}):
  • Repetindo o procedimento com números arredondados obtemos
\mathrm{X}_{5}\approx\begin{pmatrix}1{,}00\\\ 3{,}00\\\ -2{,}00\\\ 5{,}00\end{pmatrix}.
Observação (motivacional): a cada iteração usamos os valores já arredondados da iteração anterior — isto é importante para simular o que você fará na prova com cálculo manual. Aqui os valores se estabilizam rapidamente (a partir de k=5 não há alterações nos dígitos em duas casas decimais), então paramos.

Resposta

x_{1}=1{,}00
x_{2}=3{,}00
x_{3}=-2{,}00
x_{4}=5{,}00

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