([HUMES] - Capítulo 3, Exercício 8 - Adaptado) Resolva o sistema
\left[\begin{array}{rr} 5 & 7 \\\\ 7 & 11 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 12 \\\\ 18 \end{array}\right]
Pelo método de eliminação de Gauss com condensação pivotal, trabalhando em ponto flutuante com dois algarismos significativos. Considere uma precisão de \varepsilon=0,01 e calcule no máximo 5 iterações.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva o sistema linear
\left[\begin{array}{rr} 5 & 7 \\\\ 7 & 11 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 12 \\\\ 18 \end{array}\right]
usando o método de eliminação de Gauss com condensação pivotal (pivotamento parcial), trabalhando em ponto flutuante com dois algarismos significativos. Foi dada uma precisão de \varepsilon=0,01 para o critério de parada da refinamento iterativo e devo calcular no máximo 5 iterações.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Matriz dos coeficientes A=\begin{pmatrix}5 & 7\\[2pt]7 & 11\end{pmatrix}.
  • Vetor termo independente b=\begin{pmatrix}12\\[2pt]18\end{pmatrix}.
  • Trabalhar com aritmética em ponto flutuante com 2 algarismos significativos (ou seja, cada resultado deve ser arredondado para 2 algarismos significativos a cada operação).
  • Pivotamento parcial (escolher, em cada coluna, a maior magnitude na coluna como pivô e trocar linhas se necessário).
  • Usar refinamento iterativo: calcular o resíduo r=b-Ax, resolver A\delta=r para a correção \delta, atualizar x\leftarrow x+\delta, e repetir até \max_i|\delta_i|<\varepsilon ou até 5 iterações.
A partir daqui eu faço a eliminação de Gauss com pivotamento parcial obedecendo o arredondamento para 2 algarismos significativos em todas as operações.]

Passo 2

Breve explicação dos procedimentos que vou usar (didática rápida e aplicada):
  • Eliminação de Gauss com pivotamento parcial: em cada coluna eu escolho como pivô o elemento de maior valor absoluto entre as linhas ainda não eliminadas; se for necessário troco linhas. Em seguida, para zerar abaixo do pivô eu uso multiplicadores m_{ij}=a_{ij}/a_{jj} e faço \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{ij}\cdot\text{linha}_j.
  • Back substitution: depois de triangularizar, resolvo a partir da última equação para cima.
  • Arredondamento: cada resultado (divisão, multiplicação, soma, subtração) será arredondado para 2 algarismos significativos imediatamente. Exemplos de arredondamento que vou aplicar: 0,714285\ldots \to 0,71; 4,97\to 5,0; 1,25\to 1,3. Uso vírgula para decimais.
  • Refinamento iterativo: calculo r=b-Ax (com as regras de arredondamento) e então resolvo A\delta=r (usando a mesma rotina de eliminação com pivôs e 2 algarismos) para obter \delta. Se \max(|\delta_i|)<0,01 paro; caso contrário atualizo x e repito até 5 vezes.
Agora aplico essas regras passo a passo ao sistema dado.

Passo 3

Montagem inicial da matriz aumentada e escolha do pivô na primeira coluna:
Matriz aumentada inicial
\left[\begin{array}{rr|r} 5 & 7 & 12\\[2pt] 7 & 11 & 18 \end{array}\right].
Na primeira coluna os valores são 5 e 7. O maior em magnitude é 7 (segunda linha), então faço a troca de linhas (pivotamento parcial). Após trocar linha 1 com linha 2 (troca exata, números são inteiros e já têm 2 algarismos significativos) obtenho:
\left[\begin{array}{rr|r} 7 & 11 & 18\\[2pt] 5 & 7 & 12 \end{array}\right].]

Passo 4

Calcular multiplicador para zerar a entrada (2,1):
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{5}{7}=0,714285\ldots
Arredondando para 2 algarismos significativos: m_{21}=0,71. (Explicação: duas casas significativas, o primeiro algarismo não nulo é o 7, seguido de 1 → 0,71.)
Agora aplico \text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - m_{21}\cdot\text{linha}_1. Faço produto termo a termo e arredondo cada produto a 2 algarismos significativos:
  • m_{21}\cdot a_{11}=0,71\cdot 7=4,97\to arredondado para 2 algarismos: 5,0.
  • m_{21}\cdot a_{12}=0,71\cdot 11=7,81\to arredondado para 2 algarismos: 7,8.
  • m_{21}\cdot b_{1}=0,71\cdot 18=12,78\to arredondado para 2 algarismos: 13 (escrevo 13, dois algarismos).
Agora subtraio (também arredondando resultados das subtrações a 2 algarismos, quando necessário):
  • Nova a_{21}=5-5,0=0,0 (exatamente zero).
  • Nova a_{22}=7-7,8=-0,8 (arredondado para 2 sig. dig.).
  • Nova b_2=12-13=-1,0.
A matriz aumentada após eliminação da primeira coluna fica (valores já arredondados):
\left[\begin{array}{rr|r} 7 & 11 & 18\\[2pt] 0 & -0,8 & -1,0 \end{array}\right].]

Passo 5

Back substitution (resolver o sistema triangular superior):
A segunda equação (linha 2) é
-0,8\,x_2 = -1,0.
Logo
x_2 = \frac{-1,0}{-0,8}=1,25\ldots
Arredondando para 2 algarismos significativos: x_2=1,3.
Agora uso a primeira equação para obter x_1:
7\,x_1 + 11\,x_2 = 18.
Calculo 11\cdot x_2 = 11\cdot 1,3 = 14,3. Arredondando para 2 algarismos significativos: 14,3 \to 14. (Explicação: 14,3 tem dois algarismos significativos 1 e 4 → escrevo 14.)
Agora 18 - 14 = 4,0 (arredondado a 2 algarismos: 4,0). Então
x_1 = \frac{4,0}{7} = 0,571428\ldots \to \text{arredondando a 2 algarismos: }x_1=0,57.
Portanto a solução obtida pela eliminação direta em aritmética com 2 algarismos significativos é
x^{(0)}=\begin{pmatrix}0,57\\[2pt]1,3\end{pmatrix}.
Observação rápida (didática): o sistema exato tem solução x=(1,1) (pode-se verificar resolvendo exatamente), mas com a aritmética de baixa precisão obtivemos x^{(0)}=(0,57,\,1,3). Agora sigo com o refinamento iterativo para tentar melhorar x^{(0)}.]

Passo 6

Explicação do refinamento iterativo (passo a passo aplicável na prova):
  • Calculo o resíduo r=b-Ax^{(k)}. Isso me diz quanto a solução aproximada viola as equações.
  • Depois resolvo A\delta = r (com a mesma rotina numérica) para obter a correção \delta.
  • Atualizo x^{(k+1)}=x^{(k)}+\delta.
  • Repito até \max_i |\delta_i|<\varepsilon (aqui \varepsilon=0,01) ou até 5 iterações.
    Importante: como estou preso à aritmética de 2 algarismos, todo o cálculo do resíduo e das correções será feito com o mesmo arredondamento. Isso pode fazer com que o resíduo aparente seja zero mesmo quando o erro real não é.

Passo 7

Iteração 1 do refinamento (usando x^{(0)}=(0,57,\,1,3)):
Calculo Ax^{(0)}. Faço cada multiplicação e soma com arredondamento a 2 algarismos:
  • Componente 1: 5\cdot x_1 + 7\cdot x_2 = 5\cdot 0,57 + 7\cdot 1,3.
    5\cdot 0,57 = 2,85 \to arredondar a 2 algarismos: 2,9.
    7\cdot 1,3 = 9,1 (já tem 2 algarismos).
    Soma: 2,9 + 9,1 = 12,0 (arredondado: 12,0).
    Então (Ax^{(0)})_1 = 12,0.
  • Componente 2: 7\cdot x_1 + 11\cdot x_2 = 7\cdot 0,57 + 11\cdot 1,3.
    7\cdot 0,57 = 3,99 \to arredondar a 2 algarismos: 4,0.
    11\cdot 1,3 = 14,3 \to arredondar a 2 algarismos: 14.
    Soma: 4,0 + 14 = 18,0.
    Então (Ax^{(0)})_2 = 18,0.
Agora o resíduo r=b-Ax^{(0)} é:
r_1 = 12 - 12,0 = 0,0,\qquad r_2 = 18 - 18,0 = 0,0.
Arredondado com 2 algarismos dá r=\begin{pmatrix}0,0\\[2pt]0,0\end{pmatrix}.]

Passo 8

Como o resíduo é r=(0,0), ao resolver A\delta=r a solução da correção é \delta=(0,0). Em termos numéricos com a rotina de eliminação isso também resulta em correção nula. Portanto \delta=\begin{pmatrix}0,0\\[2pt]0,0\end{pmatrix}.
Checo o critério de parada: \max(|\delta_i|)=0 < \varepsilon(=0,01). Logo paro o refinamento. Não preciso fazer mais iterações (e mesmo que continuasse, o resíduo permaneceria zero na aritmética de 2 algarismos, então não haveria progresso).
Comentário didático-final: aqui vemos um efeito clássico de aritmética de baixa precisão: embora a solução exata seja x=(1,1), o arredondamento durante eliminação introduziu erro grande e, por sorte/cancelamento, o resíduo numérico ficou exatamente zero em baixa precisão, impedindo que o refinamento iterativo melhore a solução. Em provas, é importante notar esse tipo de fenômeno e explicar por que o refinamento pode não convergir se o resíduo for computado com a mesma baixa precisão.]

Resposta

\begin{pmatrix}0,57\\[2pt]1,3\end{pmatrix}]

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