(i) Ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f; (ii) escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência; (iii) Ache o domínio de f^prime.
a) f(x)=sumn=1^infty x^nn^2
b) f(x)=sumn=1^infty(-1)^n-1 x^nn
c) f(x)=sumn=1^infty x^nraizn
d) f(x)=sumn=2^infty (x-2)^nraizn-1
e) f(x)=sumn=1^infty(-1)^n-1 x^2 n-1(2 n-1)!
f) f(x)=sumn=0^infty x^2 n(n!)^2
g) f(x)=sumn=1^infty(n+1)(3 x-1)^n
h) f(x)=sumn=1^infty x^2 n-2(2 n-2)!
i) f(x)=sumn=1^infty (x-1)^nn 3^n
j) f(x)=sumn=1^infty(-1)^n (x-3)^nn(n-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a série de potências f(x) = sumn=1^infty x^nn^2 . A gente vai trabalhar com o conceito de raio de convergência, que determina para quais valores de x a série converge, e também vamos verificar o domínio da função f e sua derivada f' . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e como derivar uma série de potências termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série f(x) = sumn=1^infty x^nn^2 . Para isso, usamos o teste da razão, que nos ajuda a descobrir até onde a série converge.
O teste da razão diz que:
R = limn to infty | anan+1 |
onde an = x^nn^2 .
Vamos calcular esse limite:
anan+1 = x^nn^2x^n+1(n+1)^2 = (n+1)^2n^2 cdot 1x
Agora, calculamos o limite:
R = limn to infty (n+1)^2n^2 cdot 1x = limn to infty (1 + 2n + 1n^2) cdot 1x = 1x
Para que a série convirja, precisamos que |x| < R . Então, o raio de convergência é R = 1 .

Passo 3

Com o raio de convergência encontrado, podemos determinar o domínio da função f . Sabemos que a série converge para |x| < 1 . Agora, precisamos verificar os pontos onde |x| = 1 , ou seja, x = 1 e x = -1 .
Testando x = 1 :
f(1) = sumn=1^infty 1^nn^2 = sumn=1^infty 1n^2
Essa é a famosa série de Basel, que converge para pi^26 .
Testando x = -1 :
f(-1) = sumn=1^infty (-1)^nn^2
Essa é uma série alternada cujo termo geral tende a zero e é decrescente, então também converge.
Portanto, o domínio de f é [-1, 1] .

Passo 4

Agora, vamos derivar a série para encontrar f'(x) . A derivada de uma série de potências pode ser feita termo a termo dentro do intervalo de convergência.
Derivando termo a termo:
f'(x) = sumn=1^infty ddx ( x^nn^2 ) = sumn=1^infty n x^n-1n^2 = sumn=1^infty x^n-1n
Podemos reescrever a série iniciando em n = 0 :
f'(x) = sumn=0^infty x^nn+1

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar o raio de convergência da série derivada f'(x) . Vamos aplicar novamente o teste da razão.
Aqui, o termo geral é an = x^nn+1 .
Aplicando o teste da razão:
R' = limn to infty | anan+1 | = limn to infty n+2n+1 cdot 1x = 1x
Portanto, o raio de convergência R' = 1 .

Resposta

(i) O raio de convergência da série f(x) é R = 1 e o domínio de f é [-1, 1] .
(ii) A série de potências que define f'(x) é f'(x) = sumn=0^infty x^nn+1 e seu raio de convergência também é R' = 1 .
(iii) O domínio de f' é [-1, 1] .

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