(i) Ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de ; (ii) escreva a série de potências que define a função e ache seu raio de convergência; (iii) Ache o domínio de .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a série de potências . A gente vai trabalhar com o conceito de raio de convergência, que determina para quais valores de a série converge, e também vamos verificar o domínio da função e sua derivada . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e como derivar uma série de potências termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série . Para isso, usamos o teste da razão, que nos ajuda a descobrir até onde a série converge.
O teste da razão diz que:
onde an = x^nn^2 .
Vamos calcular esse limite:
anan+1 = x^nn^2x^n+1(n+1)^2 = (n+1)^2n^2 cdot 1x
Agora, calculamos o limite:
R = limn to infty (n+1)^2n^2 cdot 1x = limn to infty (1 + 2n + 1n^2) cdot 1x = 1x
Para que a série convirja, precisamos que |x| < R . Então, o raio de convergência é R = 1 .
Passo 3
Com o raio de convergência encontrado, podemos determinar o domínio da função f . Sabemos que a série converge para |x| < 1 . Agora, precisamos verificar os pontos onde |x| = 1 , ou seja, x = 1 e x = -1 .
Testando x = 1 :
f(1) = sumn=1^infty 1^nn^2 = sumn=1^infty 1n^2
Essa é a famosa série de Basel, que converge para pi^26 .
Testando x = -1 :
f(-1) = sumn=1^infty (-1)^nn^2
Essa é uma série alternada cujo termo geral tende a zero e é decrescente, então também converge.
Portanto, o domínio de f é [-1, 1] .
Passo 4
Agora, vamos derivar a série para encontrar f'(x) . A derivada de uma série de potências pode ser feita termo a termo dentro do intervalo de convergência.