(i) Calcule a área da região do plano x O y, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das curvas y=3 x, x^2+y^2=9, x^2+y^2=4 e y=0.
(ii) De h neq 0, calcule o valor do quociente f(x+h)-f(x)h para as seguintes funções:
b) f(x)=3 x+5, para x in R

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
1. Calcular a área da região em coordenadas cartesianas delimitada pelas curvas
,y=3x,
,x^2+y^2=9,
,x^2+y^2=4 e
,y=0.
Vamos usar coordenadas polares para transformar essas fronteiras em ,r e ,theta e integrar.
2. Para hneq0, calcular o quociente
f(x+h)-f(x)h
para a função linear ,f(x)=3x+5.

Passo 2

Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta:
  • A reta y=0 corresponde a theta=0.
  • A reta y=3x rsintheta=3rcostheta, ou seja tantheta=3, logo theta=arctan3.
  • Os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9 viram r=2 e r=3.
    Assim o setor varia em theta de 0 até arctan3 e em r de 2 até 3.

Passo 3

A área em polares é
A=integraltheta=0^arctan3integralr=2^3r,dr,dtheta
Calculando em r:
integral2^3r,dr =r^22|2^3 =9-42 =52
Logo
A =52 integral0^arctan3dtheta =52,l(arctan3-0r) =52arctan3

Passo 4

Para f(x)=3x+5 e hneq0:
f(x+h)-f(x) =l(3(x+h)+5r)-l(3x+5r) =3x+3h+5-3x-5 =3h
Portanto
f(x+h)-f(x)h =3hh =3

Resposta

(i) 52arctan 3
(ii,b) 3

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