(i) Calcule a área da região do plano x O y, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das curvas y=3 x, x^2+y^2=9, x^2+y^2=4 e y=0.
(ii) De h neq 0, calcule o valor do quociente f(x+h)-f(x)h para as seguintes funções:
c) f(x)=sen(x), para x in R

Passo 1

A primeira parte pede a área da região do plano limitada pelas curvas
  • y=0 (eixo x),
  • y=3x,
  • x^2+y^2=4 (círculo de raio 2) e
  • x^2+y^2=9 (círculo de raio 3).
    Para resolver, vamos usar coordenadas polares, já que as fronteiras circulares ficam muito simples nesse sistema.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = rcostheta, y=rsintheta,
e o elemento de área é dA = r,dr,dtheta.
A curva y=3x vira
rsintheta = 3rcostheta Longrightarrow tantheta = 3 Longrightarrow theta = arctan(3)
A reta y=0 é theta=0. Os círculos são r=2 e r=3.

Passo 3

O domínio em polares é
0 <= theta <= arctan(3), 2 <= r <= 3
Assim a área vale
A = integraltheta=0^arctan(3) !integralr=2^3 r,dr,dtheta

Passo 4

Calculando a integral em r:
integralr=2^3 r,dr = r^22|2^3 = 9-42 = 52
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A = 52 integral0^arctan(3) dtheta = 52,l(arctan(3)-0r) = 52,arctan(3)

Passo 5

Concluímos que a área da região é
A = 52,arctan(3)

Passo 6

Agora, na segunda parte, queremos o quociente
f(x+h)-f(x)h
para f(x)=sen(x) e hneq0. Vamos usar a fórmula de ângulo soma para sen(x+h).

Passo 7

Pela identidade
sen(x+h) = sen xcos h + cos xsen h,
temos
sen(x+h)-sen x = sen x,(cos h-1) + cos x,sen h
Dividindo por h,
sen(x+h)-sen xh = sen x,cos h-1h + cos x,sen hh
Usando também a forma produto-soma sen a - sen b = 2cosl(tfraca+b2r)senl(tfraca-b2r), podemos reescrever
sen(x+h)-sen x = 2cosl(x+tfrac h2r),senl(tfrac h2r),
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sen(x+h)-sen xh = 2cosl(x+tfrac h2r),senl(tfrac h2r)h

Resposta

(i) A área pedida é
boxedA = 52,arctan(3)
(ii) O quociente diferença é
boxed sen(x+h)-sen xh = sen x,cos h-1h + cos x,sen hh
ou, de forma equivalente,
boxed sen(x+h)-sen xh = 2cosl(x+tfrac h2r),senl(tfrac h2r)h

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