(i) Calcule a área da região do plano , delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das curvas e .
(ii) De , calcule o valor do quociente para as seguintes funções:
c) , para
Passo 1
A primeira parte pede a área da região do plano limitada pelas curvas
(eixo ),
,
(círculo de raio 2) e
(círculo de raio 3).
Para resolver, vamos usar coordenadas polares, já que as fronteiras circulares ficam muito simples nesse sistema.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e o elemento de área é .
A curva vira
A reta é . Os círculos são e .
Passo 3
O domínio em polares é
Assim a área vale
Passo 4
Calculando a integral em :
Logo
A = 52 integral0^arctan(3) dtheta = 52,l(arctan(3)-0r) = 52,arctan(3)
Passo 5
Concluímos que a área da região é
A = 52,arctan(3)
Passo 6
Agora, na segunda parte, queremos o quociente
f(x+h)-f(x)h
para f(x)=sen(x) e hneq0. Vamos usar a fórmula de ângulo soma para sen(x+h).
Passo 7
Pela identidade
sen(x+h) = sen xcos h + cos xsen h,
temos
sen(x+h)-sen x = sen x,(cos h-1) + cos x,sen h
Dividindo por h,
sen(x+h)-sen xh = sen x,cos h-1h + cos x,sen hh
Usando também a forma produto-soma sen a - sen b = 2cosl(tfraca+b2r)senl(tfraca-b2r), podemos reescrever
sen(x+h)-sen x = 2cosl(x+tfrac h2r),senl(tfrac h2r),