Uma partícula de carga e move-se num potencial central V(r) superposto a um campo magnético uniforme \mathbf{B}, cujo potencial vetor é \mathbf{A}=\mathbf{B} \times \mathbf{r} / 2. (i) Mostre que, se B for um campo fraco, de modo que efeitos proporcionais a B^{2} possam ser desprezados,
H(\mathbf{r}, \mathbf{p})=\frac{p^{2}}{2 m}+V(\mathbf{r})-\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{B}
onde
\mu=\frac{e}{2 m c} \mathrm{r} \times \mathbf{p}
(ii) Escreva as equações de Hamilton nesta aproximação.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de carga e sujeita a um potencial central V(r) e a um campo magnético uniforme \mathbf{B}, cujo potencial vetor é
\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{B}\times\mathbf{r}}{2}\,.
Queremos, na aproximação de campo fraco (descartando termos \propto B^2), mostrar que
H(\mathbf{r},\mathbf{p})=\frac{p^2}{2m}+V(\mathbf{r})-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B},
onde
\boldsymbol{\mu}=\frac{e}{2mc}\,\mathbf{r}\times\mathbf{p},
e em seguida escrever as equações de Hamilton correspondentes.

Passo 2

Introduzimos o momento canônico
\boldsymbol{\Pi} \;=\;\mathbf{p}-\frac{e}{c}\,\mathbf{A}
e o Hamiltoniano completo
H \;=\;\frac{\boldsymbol{\Pi}^2}{2m}+V(\mathbf{r})\,.

Passo 3

Expandindo o quadrado e desprezando A^2\sim B^2, obtemos
\frac{\boldsymbol{\Pi}^2}{2m} =\frac{1}{2m}\Bigl(\mathbf{p}-\tfrac{e}{c}\mathbf{A}\Bigr)^2 =\frac{p^2}{2m}-\frac{e}{mc}\,\mathbf{p}\cdot\mathbf{A} +\underbrace{\frac{e^2}{2mc^2}\,A^2}_{\displaystyle\to0\;\text{(fraco)}}.
Logo,
H\approx\frac{p^2}{2m}+V(\mathbf{r}) -\frac{e}{mc}\,\mathbf{p}\cdot\mathbf{A}.
Substituindo \mathbf{A}=(\mathbf{B}\times\mathbf{r})/2,
\mathbf{p}\cdot\mathbf{A} =\frac12\,\mathbf{p}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{r}) =\frac12\,\mathbf{B}\cdot(\mathbf{r}\times\mathbf{p}),
então
-\frac{e}{mc}\,\mathbf{p}\cdot\mathbf{A} =-\frac{e}{2mc}\,\mathbf{B}\cdot(\mathbf{r}\times\mathbf{p}).

Passo 4

Reconhecemos o momento magnético orbital
\boldsymbol{\mu} =\frac{e}{2mc}\,\mathbf{r}\times\mathbf{p}
e escrevemos finalmente
H(\mathbf{r},\mathbf{p}) =\frac{p^2}{2m}+V(\mathbf{r})-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}.

Passo 5

As equações de Hamilton são
\dot{\mathbf{r}} =\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}} =\frac{\mathbf{p}}{m} -\frac{e}{2mc}\,\mathbf{B}\times\mathbf{r},
\dot{\mathbf{p}} =-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{r}} =-\nabla V(\mathbf{r}) +\frac{e}{2mc}\,\mathbf{B}\times\mathbf{p}.

Resposta

H \mathbf{r},\mathbf{p} = \tfrac{p^2}{2m}+V(\mathbf{r})-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}, com \boldsymbol{\mu}=\tfrac{e}{2mc}\,\mathbf{r}\times\mathbf{p}, e \dot{\mathbf{r}}=\tfrac{\mathbf{p}}{m}-\tfrac{e}{2mc}\,\mathbf{B}\times\mathbf{r}, \dot{\mathbf{p}}=-\nabla V+\tfrac{e}{2mc}\,\mathbf{B}\times\mathbf{p}.

Exercícios relacionados