1. Seja f(x, y)=3 x^3 y^2. Determine:
    a) partial fpartial x(x, y)
    b) partial fpartial y(x, y)
    c) partial fpartial x(1, y)
    d) partial fpartial x(x, 1)
    e) partial fpartial y(1, y)
    f) partial fpartial y(x, 1)
    g) partial fpartial x(1,2)
    h) partial fpartial y(1,2)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3x^3y^2
e pede várias derivadas parciais. O conteúdo é o cálculo de derivadas parciais, em que ao derivar em relação a uma variável a outra é tratada como constante.

Passo 2

Para achar partial fpartial x(x,y) derivamos f em relação a x, tratando y como constante:
partial fpartial x(x,y) =3cdotl(3x^2r),y^2 =9x^2y^2

Passo 3

Para achar partial fpartial y(x,y) derivamos f em relação a y, tratando x como constante:
partial fpartial y(x,y) =3x^3cdotl(2yr) =6x^3y

Passo 4

Agora avaliamos essas expressões nos casos pedidos:
c)\quad
partial fpartial x(1,y) = 9 cdot 1^2 y^2 = 9 y^2

Passo 5

d)\quad
partial fpartial x(x,1) = 9 x^2 cdot 1^2 = 9 x^2

Passo 6

e)\quad
partial fpartial y(1,y) = 6 cdot 1^3 y = 6 y

Passo 7

f)\quad
partial fpartial y(x,1) = 6 x^3 cdot 1 = 6 x^3

Passo 8

g)\quad
partial fpartial x(1,2) = 9 cdot 1^2 cdot 2^2 = 9 cdot 4 = 36

Passo 9

h)\quad
partial fpartial y(1,2) = 6 cdot 1^3 cdot 2 = 12

Resposta

a) partial fpartial x(x,y)=9x^2y^2
b) partial fpartial y(x,y)=6x^3y
c) partial fpartial x(1,y)=9y^2
d) partial fpartial x(x,1)=9x^2
e) partial fpartial y(1,y)=6y
f) partial fpartial y(x,1)=6x^3
g) partial fpartial x(1,2)=36
h) partial fpartial y(1,2)=12

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