(i) Determine uma parametrização para a a parte da esfera
que fica entre os planos
e
.
(ii) Em seguida, calcule o fluxo do campo
através da superfície
do item anterior orientada via a normal exterior, i.e. a normal que aponta pra fora da esfera O campo é
(ii) Em seguida, calcule o fluxo do campo
Passo 1
O enunciado pede (i) uma parametrização da parte da esfera
com
e (ii) o fluxo de
por essa superfície
orientada pela normal externa. O campo é
Para o item (ii) vamos usar o Teorema de Stokes:
Passo 2
Parametrizamos
em coordenadas esféricas. Como
, tomamos raio
e ângulo polar
tal que
o que dá
Assim a parametrização é
com
e
.
Passo 3
Pelo Teorema de Stokes, o fluxo de
em
é igual à integral de linha de
ao longo do contorno
. A fronteira
são dois círculos planos onde
e
, ambos com
. Denotamos estes círculos por
(em
) e
(em
).
Passo 4
Para
usamos a parametrização
orientada no sentido anti-horário visto de cima (pois a normal externa tem componente
). Então
Em
temos
Logo
Logo
e
Passo 5
Para
(círculo em
) a normal externa tem
, de modo que visto de cima a orientação deve ser horário. Parametrizamos
o que de fato percorre o círculo no sentido horário visto de cima. Então
e em
obtemos os mesmos
e
do caso anterior. O produto escalar dá
e
Passo 6
Somando as contribuições de
e
achamos
Portanto, pelo Teorema de Stokes, o fluxo de
através de
orientada pela normal externa é
.