(1,0 ponto) Use o teste da divergência para verificar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{e}}
é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da divergência na série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{e}}.
O teste da divergência diz que, se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral. Como
\sqrt[n]{e}=e^{1/n},
temos
\frac{1}{\sqrt[n]{e}}=\frac{1}{e^{1/n}}=e^{-1/n}.

Passo 3

Calculamos o limite do termo geral quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}e^{-1/n} =e^{\lim_{n\to\infty}(-1/n)} =e^{0} =1\neq0.

Passo 4

Como o limite do termo geral é diferente de zero, pelo teste da divergência a série não pode convergir.

Resposta

A série é divergente.

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