Questão 2: Determine o volume do sólido delimitado pelos paraboloides z=5 x^{2}+5 y^{2} e z=9-4 x^{2}-4 y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelos paraboloides
z = 5x^{2} + 5y^{2}
e
z = 9 - 4x^{2} - 4y^{2}.
O conteúdo que vamos usar é o de cálculo de volumes por integrais duplas, aproveitando a simetria circular e coordenadas polares para simplificar a conta.

Passo 2

Para determinar a região de projeção no plano xy, igualamos as duas superfícies:
5x^{2} + 5y^{2} = 9 - 4x^{2} - 4y^{2} \quad\Longrightarrow\quad 9x^{2} + 9y^{2} = 9 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + y^{2} = 1.
Logo, a projeção é o disco de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

O volume é dado por
V = \iint_{R} \bigl(z_{\text{topo}} - z_{\text{fundo}}\bigr)\,dA = \iint_{x^{2}+y^{2}\le1} \bigl((9 - 4x^{2} - 4y^{2}) - (5x^{2} + 5y^{2})\bigr)\,dA.
O integrando simplifica para
9 - 9x^{2} - 9y^{2}.

Passo 4

Em coordenadas polares x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, dA = r\,dr\,d\theta, temos
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} \bigl(9 - 9r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{1} \bigl(9r - 9r^{3}\bigr)\,dr = \left[\frac{9r^{2}}{2} - \frac{9r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}.
Depois em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} \frac{9}{4}\,d\theta = \frac{9}{4}\cdot 2\pi = \frac{9\pi}{2}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \frac{9\pi}{2}.

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