Questão 5: Usando eventualmente o Teorema do Divergente calcule a integral de flu \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} para \mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k} quando S é a fronteira do cilindro solide descrito pelas desigualdades:
y^{2}+z^{2} \leq 4 \text { e }-2 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
onde \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k} e S é a superfície externa do cilindro sólido
V=\{(x,y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le4,\,-2\le x\le1\}.
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Divergente, que converte o fluxo pela fronteira num integral de volume da divergência de \mathbf{F}.

Passo 2

Pelo Teorema do Divergente vale
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{F}\bigr)\,dV.

Passo 3

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(y) +\frac{\partial}{\partial z}(z) =2x+1+1 =2x+2.

Passo 4

O volume V é dado por -2\le x\le1 e, para cada x, (y,z) varia no disco y^{2}+z^{2}\le4. Assim
\iiint_{V}(2x+2)\,dV =\int_{x=-2}^{1}\Bigl[\iint_{y^{2}+z^{2}\le4}(2x+2)\,dA_{yz}\Bigr]dx.

Passo 5

No disco de raio 2, a área é
\iint_{y^{2}+z^{2}\le4}dA_{yz}=4\pi.
Como 2x+2 não depende de y,z,
\iint_{y^{2}+z^{2}\le4}(2x+2)\,dA_{yz} =(2x+2)\cdot4\pi.

Passo 6

Fica então
\int_{-2}^{1}(2x+2)\,4\pi\,dx =4\pi\int_{-2}^{1}(2x+2)\,dx =4\pi\bigl[x^{2}+2x\bigr]_{-2}^{1} =4\pi\bigl((1+2)-(4-4)\bigr) =4\pi\cdot3 =12\pi.

Resposta

O fluxo pedido é 12\pi.

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