I=\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}-5}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = \int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}-5}}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração por substituição, pois vemos e^{x} no numerador e dentro da raiz no denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{x} - 5.
Como \frac{du}{dx} = e^{x}, temos du = e^{x}\,dx. Assim, o numerador e^{x}\,dx é exatamente du.

Passo 3

Em termos de u, a integral fica
I = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-\tfrac12}\,du.
Para integrar u^{-\tfrac12}, usamos a regra \int u^{p}du = \tfrac{u^{p+1}}{p+1} (com p\neq -1). Aqui p=-\tfrac12, logo
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,u^{\tfrac12}.

Passo 4

Voltando à variável x, temos u = e^{x}-5, então
I = 2\sqrt{u} + C = 2\sqrt{e^{x}-5} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

I = 2\sqrt{e^{x}-5} + C.

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