\int\left(\frac{x}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{2^{x}}+\frac{\cos \left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{x}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{2^{x}}+\frac{\cos\bigl(\frac{1}{x}\bigr)}{x^{2}}\Bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração termo a termo usando a regra de potência, a integral de 1/x, a integral de uma exponencial com base 2 e uma substituição para o último termo.

Passo 2

Primeiro termo: \frac{x}{\sqrt{x}}=x\cdot x^{-\tfrac12}=x^{\tfrac12}.
Pela regra de potência,
\int x^{\tfrac12}\,dx =\frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} =\frac{2}{3}x^{\tfrac32}.
Segundo termo:
\int\frac{1}{x}\,dx=\ln\lvert x\rvert.

Passo 3

Terceiro termo: escrevemos \frac{1}{2^{x}}=(\tfrac12)^{x}=2^{-x}.
Como \int e^{ax}\,dx=\frac1a e^{ax},
temos aqui a=-\ln2, logo
\int2^{-x}\,dx =\int e^{-x\ln2}\,dx =-\frac{1}{\ln2}\,e^{-x\ln2} =-\frac{1}{\ln2}\,2^{-x}.

Passo 4

Quarto termo:
\int\frac{\cos\bigl(\tfrac1x\bigr)}{x^{2}}\,dx.
Fazendo u=\tfrac1x, então du=-\tfrac{1}{x^{2}}\,dx, isto é \tfrac{1}{x^{2}}\,dx=-du. Assim,
\int\frac{\cos\bigl(\tfrac1x\bigr)}{x^{2}}\,dx =-\int\cos(u)\,du =-\sin(u) =-\sin\bigl(\tfrac1x\bigr).

Passo 5

Somando todas as partes, a antiderivada geral é
F(x) =\frac{2}{3}x^{\tfrac32} +\ln\lvert x\rvert -\frac{1}{\ln2}\,2^{-x} -\sin\bigl(\tfrac1x\bigr) +C.

Resposta

\boxed{\,\frac{2}{3}x^{\tfrac32} +\ln\lvert x\rvert -\frac{1}{\ln2}\,2^{-x} -\sin\bigl(\tfrac1x\bigr) +C\,}.

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