I=\int 6^{2 x} \ln (6) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int 6^{2x}\ln(6)\,dx
e pede a antiderivada. Trata-se de uma função exponencial, para a qual usaremos a regra de derivação de a^{u(x)} e o reconhecimento de uma derivada dentro da integral.

Passo 2

Sabemos que
\frac{d}{dx}6^{2x} = 6^{2x}\cdot 2\ln(6).
Dessa forma,
6^{2x}\ln(6) = \tfrac12\frac{d}{dx}6^{2x},
e então
\int 6^{2x}\ln(6)\,dx = \int \tfrac12\frac{d}{dx}6^{2x}\,dx.

Passo 3

Ao integrar, retiramos a derivada e obtemos
\int \tfrac12\frac{d}{dx}6^{2x}\,dx = \tfrac12\,6^{2x} + C.

Resposta

\displaystyle \tfrac12\,6^{2x} + C

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