Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias homogêneas:
y^(I V)+9 y=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária homogênea $ y’’’’ + 9y = 0 $. Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as soluções gerais usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos associar a equação diferencial a uma equação característica. Para isso, substituímos $ y’’’’ $ por $ r^4 $ e $ y $ por $ 1 $. Assim, a equação característica fica:
y''''

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de $ r $. Subtraindo 9 de ambos os lados:
r
Para resolver $ r^4 = -9 $, vamos lembrar que os números complexos podem ser escritos na forma polar. Sabemos que $ -9 $ pode ser representado como $ 9 $ com um ângulo de $ 180^\circ $ no plano complexo.

Passo 4

Para encontrar as raízes $ r $, vamos calcular as raízes quartas de $ -9 $. Usando a fórmula das raízes $ n $-ésimas de um número complexo, temos:
r
Calculando para cada valor de $ k $:
  • Para $ k = 0 $:
-9
  • Para $ k = 1 $:
n
  • Para $ k = 2 $:
r = raiz[4]9 [ cos(180^circ + 360^circ k4) + i sin(180^circ + 360^circ k4) ], k = 0, 1, 2, 3
  • Para $ k = 3 $:
k

Passo 5

Com essas raízes complexas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial usando funções seno e cosseno. A fórmula geral para soluções com raízes complexas $ \alpha \pm i\beta $ é:
alpha pm ibeta
No nosso caso, como as raízes são puramente imaginárias ($ \alpha = 0 $), a solução simplifica para:
y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C3) cos(raiz[4]9 , x) + (C2 + C4) sin(raiz[4]9 , x)
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ e $ C_4 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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