Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias homogêneas:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária homogênea $ y’’’’ + 9y = 0 $. Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as soluções gerais usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos associar a equação diferencial a uma equação característica. Para isso, substituímos $ y’’’’ $ por $ r^4 $ e $ y $ por $ 1 $. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de $ r $. Subtraindo 9 de ambos os lados:
Para resolver $ r^4 = -9 $, vamos lembrar que os números complexos podem ser escritos na forma polar. Sabemos que $ -9 $ pode ser representado como $ 9 $ com um ângulo de $ 180^\circ $ no plano complexo.
Passo 4
Para encontrar as raízes $ r $, vamos calcular as raízes quartas de $ -9 $. Usando a fórmula das raízes $ n $-ésimas de um número complexo, temos:
Calculando para cada valor de $ k $:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
Passo 5
Com essas raízes complexas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial usando funções seno e cosseno. A fórmula geral para soluções com raízes complexas $ \alpha \pm i\beta $ é:
No nosso caso, como as raízes são puramente imaginárias ($ \alpha = 0 $), a solução simplifica para:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ e $ C_4 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.