I) raiz x^2=x, para todo x real.
II) |-x|=x, para todo x real.
III) (x-a)(x-b)(x-a)=x-b, para todo x real.
Analisando as proposições acima, podemos afirmar que:
A) I é a única proposição verdadeira.
B) I e III são as únicas proposições verdadeiras.
C) todas as proposições são verdadeiras.
D) nenhuma proposição é verdadeira.
E) II e III são as únicas proposições verdadeiras.

Passo 1

A questão apresenta três proposições envolvendo radical, valor absoluto e simplificação de frações, e pede para verificar quais são verdadeiras para todo número real. O conteúdo envolve propriedades de
valor absoluto, de radiciação e de divisão de expressões algébricas, lembrando sempre de checar o domínio das expressões.

Passo 2

Para a proposição I: temos
raizx^2=|x|,
o que significa que raizx^2 não é igual a x quando x<0. Logo, a afirmação " raizx^2=x para todo x real" é falsa.

Passo 3

Para a proposição II: sabemos que (
|-x|=|x|,
]
então "|-x|=x" só vale quando x>=0. Para x<0 essa igualdade não é satisfeita, portanto a proposição II também é falsa.

Passo 4

Para a proposição III: simplificando a fração nós teríamos
(x-a)(x-b)(x-a)=x-b,
mas isso só vale se x-aneq0, ou seja, xneq a. No ponto x=a a expressão original é indefinida. Logo, não vale para todo x real e a proposição III é falsa.

Resposta

D) nenhuma proposição é verdadeira.

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