(1) x1+x2+x3 & =1 x1-x2+x3 & =0 -x1+x2+x3 & =-1,
(2) x1+x2+x3+x4 & =1 x1-x2+x4 & =2 x5+x6 & =0,
(3) ccc2 x1+x2+3 x3 & = & 8 4 x1+2 x2+6 x3 & = & 4 2 x1+x2+3 x3 & = & -12,
(4) ccc2 x1+4 x2+x3 & = & 1 5 x1-2 x2+x4 & = & 0 3 x1+x2+x3+x4 & = & 0 3 x2+2 x3 & = & 0
i) Reduza à forma de escada as matrizes ampliadas de cada um dos sistemas de equações lineares indicados.

Passo 1

O enunciado pede para cada um dos quatro sistemas lineares: (i) montar a matriz ampliada, (ii) aplicar operações elementares de linha para eliminarmos variáveis e obtermos uma matriz em forma de escada (row echelon form). O conteúdo usado é o método de eliminação de Gauss (operações de troca de linhas, multiplicação de linha por escalar não nulo e soma de múltiplos de uma linha em outra).

Passo 2

Construímos as matrizes ampliadas iniciais.
Para (1):
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 & -1 ]
Para (2) (as variáveis são x1,x2,x3,x4,x5,x6):
[cccccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 ]
Para (3):
[ccc|c 2 & 1 & 3 & 8 4 & 2 & 6 & 4 2 & 1 & 3 & -12 ]
Para (4):
[cccc|c 2 & 4 & 1 & 0 & 1 5 & -2 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 3 & 2 & 0 & 0 ]

Passo 3

Reduzimos o sistema (1) por eliminação de Gauss:
  1. R2 R2 - R1, R3 R3 + R1.
  2. Escalonamos R2 dividindo por -2 e eliminamos em R3.
    O resultado em forma de escada é
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & tfrac12 0 & 0 & 1 & -tfrac12 ]

Passo 4

Reduzimos o sistema (2):
  1. R2 R2 - R1.
  2. Escalonamos R2 dividindo por -2.
    Mantemos R3 como está (já isola x5,x6).
    A forma de escada final é
[cccccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & tfrac12 & 0 & 0 & 0 & -tfrac12 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 ]

Passo 5

Reduzimos o sistema (3):
  1. R2 R2 - 2R1, R3 R3 - R1.
    Sobram duas linhas com todos os coeficientes nulos, mas termos independentes diferentes (inconsistência).
    A forma de escada é
[ccc|c 2 & 1 & 3 & 8 0 & 0 & 0 & -12 0 & 0 & 0 & -20 ]

Passo 6

Reduzimos o sistema (4):
  1. Usa-se R1 para zerar a primeira coluna em R2,R3.
  2. Usa-se R2 para zerar a segunda coluna em R3,R4.
  3. Usa-se R3 para zerar a terceira coluna em R4.
    O escalonamento final é
[cccc|c 2 & 4 & 1 & 0 & 1 0 & -12 & -tfrac52 & 1 & -tfrac52 0 & 0 & tfrac1324 & tfrac712 & -tfrac1124 0 & 0 & 0 & -tfrac1613 & tfrac713 ]

Resposta

(1)
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & tfrac12 0 & 0 & 1 & -tfrac12 ]
(2)
[cccccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & tfrac12 & 0 & 0 & 0 & -tfrac12 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 ]
(3)
[ccc|c 2 & 1 & 3 & 8 0 & 0 & 0 & -12 0 & 0 & 0 & -20 ]
(4)
[cccc|c 2 & 4 & 1 & 0 & 1 0 & -12 & -tfrac52 & 1 & -tfrac52 0 & 0 & tfrac1324 & tfrac712 & -tfrac1124 0 & 0 & 0 & -tfrac1613 & tfrac713 ]

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