Sejam alpha=(-1,0,2),(0,1,0),(0,0,2) e beta=(0,0,1),(0,-2,1),(1,0,-1) bases do R^3.
Determine [I]beta^alpha;

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3:
alpha=a1,a2,a3 com
a1=(-1,0,2), a2=(0,1,0), a3=(0,0,2),
e beta=b1,b2,b3 com
b1=(0,0,1), b2=(0,-2,1), b3=(1,0,-1)
Queremos a matriz de IcolonR^3toR^3 (identidade) com base de chegada alpha e base de partida beta, ou seja [I]beta^alpha.

Passo 2

Lembrando que as colunas de [I]beta^alpha são as coordenadas dos vetores bj da base beta expressos em alpha. Para cada j, escrevemos
bj = xj,a1 + yj,a2 + zj,a3
e o vetor l(xj,yj,zjr)^T será a j-ésima coluna de [I]beta^alpha.

Passo 3

Para
Isso dá o sistema
Daí e . Logo em ,

Passo 4

Para
o que leva a
Logo , , e

Passo 5

Para
resultando em
Assim , , e

Passo 6

Juntando as coordenadas como colunas, obtemos
[I]beta^alpha = 0 & 0 & -1 0 & -2 & 0 tfrac12 & tfrac12 & tfrac12

Resposta

[I]beta^alpha = 0 & 0 & -1 0 & -2 & 0 tfrac12 & tfrac12 & tfrac12

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