Teorema I: O Princípio Fundamental da Hidrostática. Nosso objetivo: provar que a conhecida lei da hidrostática está "escondida"dentro da Equação de Euler.
Vamos começar com o caso mais simples: um fluido em total repouso. i. Se o fluido não se move, qual é o valor do seu vetor velocidade
? ii. Baseado nisso, o que acontece com os dois termos de aceleração (local e convectiva) na Equação de Euler? iii. Escreva a forma extremamente simplificada da equação que resta. Ela deve relacionar apenas a pressão e a gravidade.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede que mostremos, no caso de um fluido em total repouso, como a lei da hidrostática surge da Equação de Euler. As perguntas específicas são:
i. Qual é o valor do vetor velocidade quando o fluido não se move?
ii. O que acontece com os dois termos de aceleração (local e convectiva) na Equação de Euler nesse caso?
iii. Escreva a forma extremamente simplificada da equação que resta, relacionando apenas a pressão e a gravidade.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas): densidade do fluido , pressão
, aceleração da gravidade representada por
, e que o fluido está em total repouso.
i. Qual é o valor do vetor velocidade
ii. O que acontece com os dois termos de aceleração (local e convectiva) na Equação de Euler nesse caso?
iii. Escreva a forma extremamente simplificada da equação que resta, relacionando apenas a pressão e a gravidade.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas): densidade do fluido
Passo 2
Vamos escrever a Equação de Euler para um fluido incompressível ou compressível, em forma familiar e generalizada. A Equação de Euler diz, por unidade de volume,
Aqui eu explico cada símbolo devagar:
-
é a densidade do fluido (massa por volume). -
é o vetor velocidade do fluido, função da posição e do tempo . -
é a aceleração local: variação temporal da velocidade num ponto fixo no espaço. -
é a aceleração convectiva (ou advectiva): mudança de velocidade causada pelo movimento do próprio fluido através de campos de velocidade que variam no espaço. Matematicamente, se ,
-
é o termo que representa forças resultantes de gradientes de pressão (força por unidade de volume do fluido proveniente de variações de pressão). -
é a força de corpo por unidade de volume (peso do fluido por volume), com a aceleração gravitacional (por exemplo se o eixo aponta para cima).
Passo 3
Resposta da pergunta (i): Se o fluido está em total repouso, a velocidade em todo ponto e instante é o vetor nulo. Portanto
Explicando de forma prática: repouso significa que nenhum pedaço do fluido se desloca, então a velocidade é zero em todo lugar.
Passo 4
Agora tratamos a pergunta (ii) sobre os termos de aceleração. Substituindo
:
- A aceleração local é
Isto é, não há variação temporal da velocidade num ponto, porque a velocidade é sempre zero.
- A aceleração convectiva é
Intuição: a aceleração convectiva aparece quando um elemento de fluido percorre regiões onde a velocidade muda; se o elemento não se move (
) então não há contribuição convectiva.
Portanto ambos os termos de aceleração são nulos quando o fluido está em repouso.
Portanto ambos os termos de aceleração são nulos quando o fluido está em repouso.
Passo 5
Com os dois termos de aceleração zerados, a Equação de Euler simplifica drasticamente. Começamos com
colocando
e sabendo que as acelerações são
, o lado esquerdo vira
. Logo obtemos a forma simplificada
Rearranjando os termos, uma forma mais direta é
Esta é a relação hidrostática em forma vetorial: o gradiente espacial da pressão é igual à densidade vezes o vetor gravidade. Em palavras: variações espaciais de pressão equilibram o peso do fluido.
Passo 6
Vamos escrever a consequência mais usada em coordenadas verticais para conectar com a lei usual da hidrostática. Se escolhemos o eixo vertical
apontando para cima e a gravidade vale
com
, então
implica, componente a componente,
Isto diz que a pressão só varia na direção vertical e que a derivada vertical é
. Integrando em
(supondo
constante, para simplificar a ideia),
Se
for a superfície onde a pressão é
e definirmos a profundidade
, obtemos a forma familiar
a famosa lei da hidrostática: a pressão aumenta com a profundidade proporcional à densidade e à aceleração da gravidade.
Resposta
i)
ii) e
(ambos os termos de aceleração se anulam)
iii) (forma vetorial); em direção vertical
e, integrando para densidade constante,
.
ii)
iii)