Teorema I: O Princípio Fundamental da Hidrostática. Nosso objetivo: provar que a conhecida lei da hidrostática está "escondida"dentro da Equação de Euler.
Vamos começar com o caso mais simples: um fluido em total repouso. i. Se o fluido não se move, qual é o valor do seu vetor velocidade \vec{v} ? ii. Baseado nisso, o que acontece com os dois termos de aceleração (local e convectiva) na Equação de Euler? iii. Escreva a forma extremamente simplificada da equação que resta. Ela deve relacionar apenas a pressão e a gravidade.
(a)

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, no caso de um fluido em total repouso, como a lei da hidrostática surge da Equação de Euler. As perguntas específicas são:
i. Qual é o valor do vetor velocidade \vec{v} quando o fluido não se move?
ii. O que acontece com os dois termos de aceleração (local e convectiva) na Equação de Euler nesse caso?
iii. Escreva a forma extremamente simplificada da equação que resta, relacionando apenas a pressão e a gravidade.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas): densidade do fluido \rho, pressão p, aceleração da gravidade representada por \vec{g}, e que o fluido está em total repouso.

Passo 2

Vamos escrever a Equação de Euler para um fluido incompressível ou compressível, em forma familiar e generalizada. A Equação de Euler diz, por unidade de volume,
\rho\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\right) = -\nabla p + \rho \vec{g}.
Aqui eu explico cada símbolo devagar:
  • \rho é a densidade do fluido (massa por volume).
  • \vec{v}(\vec{x},t) é o vetor velocidade do fluido, função da posição \vec{x} e do tempo t.
  • \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} é a aceleração local: variação temporal da velocidade num ponto fixo no espaço.
  • (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} é a aceleração convectiva (ou advectiva): mudança de velocidade causada pelo movimento do próprio fluido através de campos de velocidade que variam no espaço. Matematicamente, se \vec{v}=(v_x,v_y,v_z),
(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = v_x\frac{\partial \vec{v}}{\partial x} + v_y\frac{\partial \vec{v}}{\partial y} + v_z\frac{\partial \vec{v}}{\partial z}.
  • -\nabla p é o termo que representa forças resultantes de gradientes de pressão (força por unidade de volume do fluido proveniente de variações de pressão).
  • \rho \vec{g} é a força de corpo por unidade de volume (peso do fluido por volume), com \vec{g} a aceleração gravitacional (por exemplo \vec{g} = -g\,\hat{k} se o eixo z aponta para cima).

Passo 3

Resposta da pergunta (i): Se o fluido está em total repouso, a velocidade em todo ponto e instante é o vetor nulo. Portanto
\vec{v} = \vec{0}.
Explicando de forma prática: repouso significa que nenhum pedaço do fluido se desloca, então a velocidade é zero em todo lugar.

Passo 4

Agora tratamos a pergunta (ii) sobre os termos de aceleração. Substituindo \vec{v}=\vec{0}:
  • A aceleração local é
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \frac{\partial \vec{0}}{\partial t} = \vec{0}.
Isto é, não há variação temporal da velocidade num ponto, porque a velocidade é sempre zero.
  • A aceleração convectiva é
(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = (\vec{0}\cdot\nabla)\vec{0} = \vec{0}.
Intuição: a aceleração convectiva aparece quando um elemento de fluido percorre regiões onde a velocidade muda; se o elemento não se move ( \vec{v}=\vec{0}) então não há contribuição convectiva.
Portanto ambos os termos de aceleração são nulos quando o fluido está em repouso.

Passo 5

Com os dois termos de aceleração zerados, a Equação de Euler simplifica drasticamente. Começamos com
\rho\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\right) = -\nabla p + \rho \vec{g},
colocando \vec{v}=\vec{0} e sabendo que as acelerações são \vec{0}, o lado esquerdo vira \rho \vec{0} = \vec{0}. Logo obtemos a forma simplificada
\vec{0} = -\nabla p + \rho \vec{g}.
Rearranjando os termos, uma forma mais direta é
\nabla p = \rho \vec{g}.
Esta é a relação hidrostática em forma vetorial: o gradiente espacial da pressão é igual à densidade vezes o vetor gravidade. Em palavras: variações espaciais de pressão equilibram o peso do fluido.

Passo 6

Vamos escrever a consequência mais usada em coordenadas verticais para conectar com a lei usual da hidrostática. Se escolhemos o eixo vertical z apontando para cima e a gravidade vale \vec{g} = -g\,\hat{k} com g>0, então \nabla p = \rho\vec{g} implica, componente a componente,
\frac{\partial p}{\partial x} = 0,\qquad \frac{\partial p}{\partial y} = 0,\qquad \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g.
Isto diz que a pressão só varia na direção vertical e que a derivada vertical é \partial p/\partial z = -\rho g. Integrando em z (supondo \rho constante, para simplificar a ideia),
p(z) = p(z_0) - \rho g (z - z_0).
Se z_0 for a superfície onde a pressão é p(z_0)=p_0 e definirmos a profundidade h = z_0 - z, obtemos a forma familiar
p = p_0 + \rho g h,
a famosa lei da hidrostática: a pressão aumenta com a profundidade proporcional à densidade e à aceleração da gravidade.

Resposta

i) \vec{v}=\vec{0}
ii) \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t}=\vec{0} e (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=\vec{0} (ambos os termos de aceleração se anulam)
iii) \nabla p=\rho\vec{g} (forma vetorial); em direção vertical \dfrac{\partial p}{\partial z}=-\rho g e, integrando para densidade constante, p=p_0+\rho g h.

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