tem uma única solução se, e somente se, 2 m-n+p é igual a
(A) 5 / 2
(B) 5
(C) 6
(D) 3 / 2
(E) 10
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema de quatro equações lineares em três incógnitas x,y,z. Como há mais equações do que incógnitas, ele só tem solução se as quatro equações forem compatíveis. Para isso, vamos primeiro verificar que as três primeiras equações formam um sistema 3times 3 com determinante não nulo, garantindo solução única para x,y,z em função de m,n,p.
Passo 2
Escrevendo a matriz de coeficientes das três primeiras equações
A= 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 -2 & 1 & -1 ,
calculamos o determinante por expansão de Laplace:
det A =1cdot0 & 21 & -1 -1cdot1 & 2-2 & -1 +1cdot1 & 0-2 & 1 =-2-(-3)+1=-4neq0
Como det Aneq0, as três primeiras equações sempre têm solução única.
Passo 3
Resolvendo por eliminação: da segunda equação obtemos