(i) Se A X=B tem infinitas soluções, então A X=0 tem infinitas soluções.
(ii) Se A X=0 tem infinitas soluções, então A X=B tem infinitas soluções.
(iii) Se A X=B não tem solução, então A X=0 só tem a solução trivial.
(iv) Se A X=0 só tem a solução trivial, então A X=B tem solução única.

Passo 1

Estamos lidando com um sistema linear A X = B, onde A é uma matriz mtimes n, Xin R^n e Bin R^m. O que precisamos usar é a estrutura geral das soluções de um sistema linear:
  1. Se existe alguma solução particular X0 de A X = B, então o conjunto de todas as soluções é
,X0 + v mid vinNull( A)
  1. O conjunto Null( A)=,vmid A v=0 é um espaço vetorial cuja dimensão (número de graus de liberdade) determina se há solução trivial ou infinitas soluções.

Passo 2

(i) Se A X=B tem infinitas soluções, isso significa que existe um X0 e que Null( A) tem dimensão maior que zero. Logo há infinitos vetores vneq0 tais que A v=0. Portanto A X=0 também tem infinitas soluções.

Passo 3

(ii) O fato de A X=0 ter infinitas soluções significa dimNull( A)>0, mas isso não garante que A X=B seja consistente. Por exemplo, seja
A = 1 & 0, B = 11
Então A X=0 (com Xin R^2) tem infinitas soluções (0,x2), mas A X=B não tem solução porque implicaria x1=1 e x1=1 simultaneamente para duas equações conflitantes.

Passo 4

(iii) Se A X=B não tem solução, isso quer dizer que o sistema é inconsistente, mas isso não obriga Null( A) a ter dimensão zero. Por exemplo,
A = 11,;Xin R,;B=12
Aqui A X=0 só admite a solução trivial X=0 (nulidade zero), mas A X=B é inconsistente.

Passo 5

(iv) Se A X=0 só tem a solução trivial, então Null( A)=0 e rank( A)=n. Ainda assim, A X=B pode falhar em ser consistente se B não pertencer ao espaço coluna de A. Exemplo:
A=10,;Xin R,;B=01
Temos A X=0 só solução X=0, mas A X=B não tem nenhuma solução.

Resposta

(i) Verdadeiro
(ii) Falso
(iii) Falso
(iv) Falso

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