(i) Se
tem infinitas soluções, então
tem infinitas soluções.
(ii) Se
tem infinitas soluções, então
tem infinitas soluções.
(iii) Se
não tem solução, então
só tem a solução trivial.
(iv) Se
só tem a solução trivial, então
tem solução única.
(ii) Se
(iii) Se
(iv) Se
Passo 1
Estamos lidando com um sistema linear
, onde
é uma matriz
,
e
. O que precisamos usar é a estrutura geral das soluções de um sistema linear:
- Se existe alguma solução particular
de , então o conjunto de todas as soluções é
- O conjunto
é um espaço vetorial cuja dimensão (número de graus de liberdade) determina se há solução trivial ou infinitas soluções.
Passo 2
(i) Se
tem infinitas soluções, isso significa que existe um
e que
tem dimensão maior que zero. Logo há infinitos vetores
tais que
. Portanto
também tem infinitas soluções.
Passo 3
(ii) O fato de
ter infinitas soluções significa
, mas isso não garante que
seja consistente. Por exemplo, seja
Então
(com
) tem infinitas soluções
, mas
não tem solução porque implicaria
e
simultaneamente para duas equações conflitantes.
Passo 4
(iii) Se
não tem solução, isso quer dizer que o sistema é inconsistente, mas isso não obriga
a ter dimensão zero. Por exemplo,
Aqui
só admite a solução trivial
(nulidade zero), mas
é inconsistente.
Passo 5
(iv) Se
só tem a solução trivial, então
e
. Ainda assim,
pode falhar em ser consistente se
não pertencer ao espaço coluna de
. Exemplo:
Temos
só solução
, mas
não tem nenhuma solução.
Resposta
(i) Verdadeiro
(ii) Falso
(iii) Falso
(iv) Falso
(ii) Falso
(iii) Falso
(iv) Falso