i) Solução única;
ii) Infinitas soluções;
iii) Nenhuma solução.
a)
Respostas: (a) ii) iii) ;
b)
Respostas: (b) ,
ii) iii) ;
c)
Respostas: (c) k \in \mathbb{R}, \quad k \neq 4, \quad k=4$;
d)
Respostas: (d) ,
ii) ,
iii) Para nenhum .

Passo 1

O enunciado traz quatro sistemas lineares dependentes de um parâmetro k e pede para classificar cada sistema em:
i) solução única;
ii) infinitas soluções;
iii) nenhuma solução.
O conteúdo usado será determinante de matriz quadrada para verificar existência de solução única (pela Regra de Cramer) e análise de posto da matriz de coeficientes versus matriz aumentada para os casos em que o determinante se anula.

Passo 2

Em geral, para um sistema Ax=b com matriz de coeficientes A:
  1. Se det Aneq0, o posto de A é máximo e o sistema tem exatamente uma solução (Regra de Cramer).
  2. Se det A=0, podemos ter:
    • infinitas soluções se rank(A)=rank([A|b]),
    • nenhuma solução se rank(A)<rank([A|b]).

Passo 3

Sistema (a):
x+y-z=1, 2x+3y+kz=3, x+ky+3z=2
A matriz de coeficientes é
Aa= 1&1&-1 2&3&k 1&k&3
Calcula-se
det Aa = 1&1&-1 2&3&k 1&k&3 =(k-2)(k+3)
Logo:
  • det Aaneq0 para kneq2 e kneq-3 ;Rightarrow solução única.
  • Se k=2 ou k=-3, det Aa=0, precisamos ver consistência.

Passo 4

Ainda em (a), para det Aa=0:
  • Se k=-3, substituindo nas equações, o posto de Aa e o de [Aa|b] coincidem (uma equação torna-se combinação das outras) Rightarrow infinitas soluções.
  • Se k=2, obtém-se contradição na comparação de combinações lineares Rightarrow nenhuma solução.

Passo 5

Sistema (b):
kx+y+z=1, x+ky+z=1, x+y+kz=1
A matriz de coeficientes é
Ab= k&1&1 1&k&1 1&1&k ,
cujo determinante é
det Ab=(k-1)^2(k+2)
Logo:
  • det Abneq0 para kneq1 e kneq-2 ;Rightarrow solução única.
  • Se k=1 ou k=-2, det Ab=0, e verifica-se:
    • k=1: as três equações coincidem e são consistentes Rightarrow infinitas soluções;
    • k=-2: as equações tornam-se incompatíveis Rightarrow nenhuma solução.

Passo 6

Sistema (c):
x+2y+kz=1, 2x+k y+8z=3
São duas equações e três incógnitas, logo só não há solução se as equações forem paralelas e inconsistentes. Compare coeficientes: se existir lambda tal que
(2,,k,,8)=lambda,(1,,2,,k)
então lambda=2, forçando k=4. Mas os termos constantes seriam 3 versus 2, gerando contradição. Portanto:
  • para k=4 não há solução,
  • para kneq4 o sistema define um plano e uma reta não paralelos Rightarrow infinitas soluções,
  • não há valor de k com solução única (pois há menos equações que incógnitas).

Passo 7

Sistema (d):
x+y+kz=2, 3x+4y+2z=k, 2x+3y-z=1
A matriz de coeficientes é
Ad= 1&1&k 3&4&2 2&3&-1 ,
e
det Ad = 1&1&k 3&4&2 2&3&-1 =3-k
Logo:
  • det Adneq0 quando kneq3 ;Rightarrow solução única.
  • Se k=3, det Ad=0; substituindo, as três equações passam a ser dependentes mas consistentes Rightarrow infinitas soluções. Não ocorre nenhum k que torne o sistema inconsistente.

Resposta

(a) i) kneq2 e kneq-3; ii) k=-3; iii) k=2
(b) i) kneq1 e kneq-2; ii) k=1; iii) k=-2
(c) i) nenhum kinR; ii) kneq4; iii) k=4
(d) i) kneq3; ii) k=3; iii) nenhum kinR

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