i) Solução única;
ii) Infinitas soluções;
iii) Nenhuma solução.
a)
Respostas: (a) ii) iii) ;
b)
Respostas: (b) ,
ii) iii) ;
c)
Respostas: (c) k \in \mathbb{R}, \quadk \neq 4, \quadk=4$;
d)
Respostas: (d) ,
ii) ,
iii) Para nenhum .
Passo 1
O enunciado traz quatro sistemas lineares dependentes de um parâmetro k e pede para classificar cada sistema em:
i) solução única;
ii) infinitas soluções;
iii) nenhuma solução.
O conteúdo usado será determinante de matriz quadrada para verificar existência de solução única (pela Regra de Cramer) e análise de posto da matriz de coeficientes versus matriz aumentada para os casos em que o determinante se anula.
Passo 2
Em geral, para um sistema Ax=b com matriz de coeficientes A:
Se det Aneq0, o posto de A é máximo e o sistema tem exatamente uma solução (Regra de Cramer).
Se det A=0, podemos ter:
infinitas soluções se rank(A)=rank([A|b]),
nenhuma solução se rank(A)<rank([A|b]).
Passo 3
Sistema (a):
x+y-z=1, 2x+3y+kz=3, x+ky+3z=2
A matriz de coeficientes é
Aa= 1&1&-1 2&3&k 1&k&3
Calcula-se
det Aa = 1&1&-1 2&3&k 1&k&3 =(k-2)(k+3)
Logo:
det Aaneq0 para kneq2 e kneq-3;Rightarrow solução única.
Se k=2 ou k=-3, det Aa=0, precisamos ver consistência.
Passo 4
Ainda em (a), para det Aa=0:
Se k=-3, substituindo nas equações, o posto de Aa e o de [Aa|b] coincidem (uma equação torna-se combinação das outras) Rightarrow infinitas soluções.
Se k=2, obtém-se contradição na comparação de combinações lineares Rightarrow nenhuma solução.
Passo 5
Sistema (b):
kx+y+z=1, x+ky+z=1, x+y+kz=1
A matriz de coeficientes é
Ab= k&1&1 1&k&1 1&1&k ,
cujo determinante é
det Ab=(k-1)^2(k+2)
Logo:
det Abneq0 para kneq1 e kneq-2;Rightarrow solução única.
Se k=1 ou k=-2, det Ab=0, e verifica-se:
k=1: as três equações coincidem e são consistentes Rightarrow infinitas soluções;
k=-2: as equações tornam-se incompatíveis Rightarrow nenhuma solução.
Passo 6
Sistema (c):
x+2y+kz=1, 2x+k y+8z=3
São duas equações e três incógnitas, logo só não há solução se as equações forem paralelas e inconsistentes. Compare coeficientes: se existir lambda tal que
(2,,k,,8)=lambda,(1,,2,,k)
então lambda=2, forçando k=4. Mas os termos constantes seriam 3 versus 2, gerando contradição. Portanto:
para k=4 não há solução,
para kneq4 o sistema define um plano e uma reta não paralelos Rightarrow infinitas soluções,
não há valor de k com solução única (pois há menos equações que incógnitas).
Passo 7
Sistema (d):
x+y+kz=2, 3x+4y+2z=k, 2x+3y-z=1
A matriz de coeficientes é
Ad= 1&1&k 3&4&2 2&3&-1 ,
e
det Ad = 1&1&k 3&4&2 2&3&-1 =3-k
Logo:
det Adneq0 quando kneq3;Rightarrow solução única.
Se k=3, det Ad=0; substituindo, as três equações passam a ser dependentes mas consistentes Rightarrow infinitas soluções. Não ocorre nenhum k que torne o sistema inconsistente.