Um operador linear cuja representação matricial na base canônica é dada por
é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A=[T]C = 3 & -1 & 1 7 & -5 & 1 6 & -6 & 2
e pergunta se T é diagonalizável. Para isso vamos (i) calcular o polinômio característico de A, (ii) encontrar seus autovalores e (iii) comparar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico chi(lambda)=det(A-lambda I). Temos
isto é . Logo os vetores próprios associados a são da forma , espaço unidimensional. Portanto a multiplicidade geométrica de é 1, menor que a algébrica 2.
Passo 5
Como para lambda=2 a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), o operador T não possui base de autovetores em R^3. Logo T não é diagonalizável.