Um operador linear T: R^3 R^3 cuja representação matricial na base canônica C é dada por
[T]C=(lll 3 & -1 & 1 7 & -5 & 1 6 & -6 & 2 )
é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A=[T]C = 3 & -1 & 1 7 & -5 & 1 6 & -6 & 2
e pergunta se T é diagonalizável. Para isso vamos (i) calcular o polinômio característico de A, (ii) encontrar seus autovalores e (iii) comparar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico chi(lambda)=det(A-lambda I). Temos
A-lambda I = 3-lambda & -1 & 1 7 & -5-lambda & 1 6 & -6 & 2-lambda
Fazendo a expansão de Laplace, chega-se a
det(A-lambda I) =-lambda^3+12lambda-16,
ou seja
chi(lambda)=lambda^3-12lambda+16

Passo 3

Buscamos raízes de chi(lambda)=0. Testando lambda=2 obtemos
2^3-12cdot2+16=8-24+16=0,
portanto lambda=2 é raiz. Fazendo a divisão por lambda-2 obtemos
chi(lambda)=(lambda-2)^2(lambda+4)
Assim os autovalores são
lambda1=2(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2=-4(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 4

Precisamos da multiplicidade geométrica de
Reduzindo, resta o sistema
isto é . Logo os vetores próprios associados a são da forma , espaço unidimensional. Portanto a multiplicidade geométrica de é 1, menor que a algébrica 2.

Passo 5

Como para lambda=2 a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), o operador T não possui base de autovetores em R^3. Logo T não é diagonalizável.

Resposta

T não é diagonalizável.

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