a) Se o sistema linear A X=0 admite as soluções X1 e X2, então também admite k1 X1+k2 X2 como solução, para quaisquer números reais k1 e k2.
b) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
c) Se X1 e X2 são soluções do sistema A X=0, então X1-X2 é solução de A X=0.
d) Se A é uma matriz tal que A^T A=A, então os sistemas lineares A X=C e A^2 X=C são equivalentes.
e) Se X1 e X2 são soluções do sistema A X=B, então X1+X2 é solução de A X=B.
f) Se X0 é uma solução do sistema A X=0 e X1 é uma solução do sistema A X=B, então X0+X1 é uma solução de A X=B.
g) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de variáveis possui infinitas soluções.
h) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é menor que o número de variáveis possui infinitas soluções.
i) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de variáveis não possui soluções.

Passo 1

O enunciado lista várias afirmações sobre sistemas lineares, envolvendo sistemas homogêneos A X=0, não homogêneos A X=B, propriedades de combinações de soluções, existência de solução trivial, sistemas com número de equações menor ou maior que o de variáveis, e uma condição especial A^TA=A. Para resolver, vamos usar: (i) linearidade de A; (ii) estrutura de espaço vetorial das soluções homogêneas; (iii) rank–nullity; (iv) condição A^TA=A implica A simétrica e idempotente ( A^2=A).

Passo 2

Analisando a) “Se o sistema homogêneo admite X1 e X2, então também admite k1X1+k2X2.” Pela linearidade de A:
A(k1X1+k2X2)=k1AX1+k2AX2= k10+k20=0
Logo a) é verdadeira.

Passo 3

Afirmativa b) “Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.” Basta notar que X=0 satisfaz
A0=0
Portanto b) é verdadeira.

Passo 4

A respeito de c) “Se X1 e X2 são soluções de AX=0, então X1-X2 é solução.” Como acima,
A(X1-X2)=AX1-AX2=0-0=0
Logo c) é verdadeira.

Passo 5

Para d) “Se A^TA=A, então AX=C e A^2X=C são equivalentes.” Da condição segue que A é simétrica e
A^2 = A^TA = A,
isto é, A é idempotente. Assim a equação A^2X=C vira
AX=C,
mesma equação de partida. Logo d) é verdadeira.

Passo 6

Em e) “Se X1 e X2 resolvem AX=B, então X1+X2 resolve AX=B.” Mas
A(X1+X2)=AX1+AX2=B+B=2Bneq B
em geral. Concluímos que e) é falsa.

Passo 7

Na f) “Se X0 resolve AX=0 e X1 resolve AX=B, então X0+X1 resolve AX=B.” De fato,
A(X0+X1)=AX0+AX1=0+B=B
Logo f) é verdadeira.

Passo 8

Sobre g) “Todo sistema com menos equações que variáveis possui infinitas soluções.” Nem sempre: pode ser inconsistente e não ter solução. Logo g) é falsa.

Passo 9

Em h) “Todo sistema homogêneo com menos equações que variáveis possui infinitas soluções.” Como é homogêneo, sempre é consistente e, se o número de variáveis excede o número de equações, existe espaço de soluções de dimensão pelo menos n-m>0, dando infinitas soluções. Logo h) é verdadeira.

Passo 10

Por fim i) “Todo sistema homogêneo com mais equações que variáveis não possui soluções.” Isso é falso, pois todo homogêneo sempre admite a solução trivial. Logo i) é falsa.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Falsa
f) Verdadeira
g) Falsa
h) Verdadeira
i) Falsa

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