a) Se o sistema linear
admite as soluções
e
, então também admite
como solução, para quaisquer números reais
e
.
b) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
c) Se
e
são soluções do sistema
, então
é solução de
.
d) Se
é uma matriz tal que
, então os sistemas lineares
e
são equivalentes.
e) Se
e
são soluções do sistema
, então
é solução de
.
f) Se
é uma solução do sistema
e
é uma solução do sistema
, então
é uma solução de
.
g) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de variáveis possui infinitas soluções.
h) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é menor que o número de variáveis possui infinitas soluções.
i) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de variáveis não possui soluções.
b) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
c) Se
d) Se
e) Se
f) Se
g) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de variáveis possui infinitas soluções.
h) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é menor que o número de variáveis possui infinitas soluções.
i) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de variáveis não possui soluções.
Passo 1
O enunciado lista várias afirmações sobre sistemas lineares, envolvendo sistemas homogêneos
, não homogêneos
, propriedades de combinações de soluções, existência de solução trivial, sistemas com número de equações menor ou maior que o de variáveis, e uma condição especial
. Para resolver, vamos usar: (i) linearidade de
; (ii) estrutura de espaço vetorial das soluções homogêneas; (iii) rank–nullity; (iv) condição
implica
simétrica e idempotente (
).
Passo 2
Analisando a) “Se o sistema homogêneo admite
e
, então também admite
.” Pela linearidade de
:
Logo a) é verdadeira.
Passo 3
Afirmativa b) “Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.” Basta notar que
satisfaz
Portanto b) é verdadeira.
Passo 4
A respeito de c) “Se
e
são soluções de
, então
é solução.” Como acima,
Logo c) é verdadeira.
Passo 5
Para d) “Se
, então
e
são equivalentes.” Da condição segue que
é simétrica e
isto é,
é idempotente. Assim a equação
vira
mesma equação de partida. Logo d) é verdadeira.
Passo 6
Em e) “Se
e
resolvem
, então
resolve
.” Mas
em geral. Concluímos que e) é falsa.
Passo 7
Na f) “Se
resolve
e
resolve
, então
resolve
.” De fato,
Logo f) é verdadeira.
Passo 8
Sobre g) “Todo sistema com menos equações que variáveis possui infinitas soluções.” Nem sempre: pode ser inconsistente e não ter solução. Logo g) é falsa.
Passo 9
Em h) “Todo sistema homogêneo com menos equações que variáveis possui infinitas soluções.” Como é homogêneo, sempre é consistente e, se o número de variáveis excede o número de equações, existe espaço de soluções de dimensão pelo menos
, dando infinitas soluções. Logo h) é verdadeira.
Passo 10
Por fim i) “Todo sistema homogêneo com mais equações que variáveis não possui soluções.” Isso é falso, pois todo homogêneo sempre admite a solução trivial. Logo i) é falsa.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Falsa
f) Verdadeira
g) Falsa
h) Verdadeira
i) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Falsa
f) Verdadeira
g) Falsa
h) Verdadeira
i) Falsa