lim substackx 0 y 0 x-yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
quando se aproxima de . Como é um limite em duas variáveis, precisamos verificar se o valor é o mesmo ao longo de diferentes trajetórias até a origem. Se houver dependência de trajetória ou divergência, o limite não existe.

Passo 2

Escolhendo a reta y = x, temos
x - yx^2+y^2 =x - xx^2+x^2 =02x^2 =0
Logo, ao longo de y=x, o limite vale 0.

Passo 3

Escolhendo o eixo y = 0, obtemos
x - 0x^2+0 =xx^2 =1x,
que, ao fazer xto0, não tende a um valor finito (vai para +infty se x>0 e para -infty se x<0). Ou seja, é divergente nessa trajetória.

Passo 4

Para ver o comportamento geral, usemos coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta,
então
x - yx^2+y^2 =rcostheta - rsinthetar^2 =costheta - sinthetar
Quando rto0, se costhetaneqsintheta o quociente fica não limitado (tende a pminfty), e só dá zero em theta=pi/4. Isso mostra que o valor depende da direção e que há divergência.

Resposta

O limite não existe.

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