Passo 1
O enunciado pede o limite
quando
se aproxima de
. Como é um limite em duas variáveis, precisamos verificar se o valor é o mesmo ao longo de diferentes trajetórias até a origem. Se houver dependência de trajetória ou divergência, o limite não existe.
Passo 2
Escolhendo a reta
, temos
Logo, ao longo de
, o limite vale
.
Passo 3
Escolhendo o eixo
, obtemos
que, ao fazer
, não tende a um valor finito (vai para
se
e para
se
). Ou seja, é divergente nessa trajetória.
Passo 4
Para ver o comportamento geral, usemos coordenadas polares
então
Quando
, se
o quociente fica não limitado (tende a
), e só dá zero em
. Isso mostra que o valor depende da direção e que há divergência.
Resposta
O limite não existe.